समाधान {l}{3a+5u=17}{2a+u=9}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 a + 5 u = 17 } \\ { 2 a + u = 9 } \end{array} \right.$$

a, u को लागि हल गर्नुहोस्

$$a=4$$

$$u=1$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$3a+5u=17,2a+u=9$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको a लाई अलग गरी a का लागि हल गर्नुहोस्।

$$3a+5u=17$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 5u घटाउनुहोस्।

$$3a=-5u+17$$

दुबैतिर 3 ले भाग गर्नुहोस्।

$$a=\frac{1}{3}\left(-5u+17\right)$$

\frac{1}{3} लाई -5u+17 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$a=-\frac{5}{3}u+\frac{17}{3}$$

\frac{-5u+17}{3} लाई a ले अर्को समीकरण 2a+u=9 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$2\left(-\frac{5}{3}u+\frac{17}{3}\right)+u=9$$

2 लाई \frac{-5u+17}{3} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-\frac{10}{3}u+\frac{34}{3}+u=9$$

u मा -\frac{10u}{3} जोड्नुहोस्

$$-\frac{7}{3}u+\frac{34}{3}=9$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{34}{3} घटाउनुहोस्।

$$-\frac{7}{3}u=-\frac{7}{3}$$

समीकरणको दुबैतिर -\frac{7}{3} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$u=1$$

a=-\frac{5}{3}u+\frac{17}{3} मा u लाई 1 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले a लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$a=\frac{-5+17}{3}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{17}{3} लाई -\frac{5}{3} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$a=4$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$a=4,u=1$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$3a+5u=17,2a+u=9$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}3&5\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\u\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}17\\9\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}3&5\\2&1\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\u\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\9\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\u\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\9\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}a\\u\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}a\\u\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-5\times 2}&-\frac{5}{3-5\times 2}\\-\frac{2}{3-5\times 2}&\frac{3}{3-5\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\9\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}a\\u\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}&\frac{5}{7}\\\frac{2}{7}&-\frac{3}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\9\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}a\\u\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}\times 17+\frac{5}{7}\times 9\\\frac{2}{7}\times 17-\frac{3}{7}\times 9\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}a\\u\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू a र u लाई ता्नुहोस्।

$$a=4,u=1$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$3a+5u=17,2a+u=9$$

3a र 2a लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 2 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 3 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$2\times 3a+2\times 5u=2\times 17,3\times 2a+3u=3\times 9$$

सरल गर्नुहोस्।

$$6a+10u=34,6a+3u=27$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 6a+10u=34 बाट 6a+3u=27 घटाउनुहोस्।

$$6a-6a+10u-3u=34-27$$

-6a मा 6a जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 6a र -6a राशी रद्द हुन्छन्।

$$10u-3u=34-27$$

-3u मा 10u जोड्नुहोस्

$$7u=34-27$$

-27 मा 34 जोड्नुहोस्

$$7u=7$$

दुबैतिर 7 ले भाग गर्नुहोस्।

$$u=1$$

2a+u=9 मा u लाई 1 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले a लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$2a+1=9$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 1 घटाउनुहोस्।

$$2a=8$$

दुबैतिर 2 ले भाग गर्नुहोस्।

$$a=4$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$a=4,u=1$$