समाधान {l}{3A-13c=-255}{31A-6c=-180}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 A - 13 c = - 255 } \\ { 31 A - 6 c = - 180 } \end{array} \right.$$

A, c को लागि हल गर्नुहोस्

$$A = -\frac{162}{77} = -2\frac{8}{77} \approx -2.103896104$$

$$c = \frac{1473}{77} = 19\frac{10}{77} \approx 19.12987013$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$3A-13c=-255,31A-6c=-180$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको A लाई अलग गरी A का लागि हल गर्नुहोस्।

$$3A-13c=-255$$

समीकरणको दुबैतिर 13c जोड्नुहोस्।

$$3A=13c-255$$

दुबैतिर 3 ले भाग गर्नुहोस्।

$$A=\frac{1}{3}\left(13c-255\right)$$

\frac{1}{3} लाई 13c-255 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$A=\frac{13}{3}c-85$$

\frac{13c}{3}-85 लाई A ले अर्को समीकरण 31A-6c=-180 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$31\left(\frac{13}{3}c-85\right)-6c=-180$$

31 लाई \frac{13c}{3}-85 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$\frac{403}{3}c-2635-6c=-180$$

-6c मा \frac{403c}{3} जोड्नुहोस्

$$\frac{385}{3}c-2635=-180$$

समीकरणको दुबैतिर 2635 जोड्नुहोस्।

$$\frac{385}{3}c=2455$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{385}{3} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$c=\frac{1473}{77}$$

A=\frac{13}{3}c-85 मा c लाई \frac{1473}{77} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले A लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$A=\frac{13}{3}\times \frac{1473}{77}-85$$

अंश पटकले अंशलाई र हर पटकलाई हरले गुणन गरी \frac{13}{3} लाई \frac{1473}{77} पटक गुणन गर्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएसम्म न्यूनतम पदहरूमा भिन्नलाई झार्नुहोस्।

$$A=\frac{6383}{77}-85$$

\frac{6383}{77} मा -85 जोड्नुहोस्

$$A=-\frac{162}{77}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$A=-\frac{162}{77},c=\frac{1473}{77}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$3A-13c=-255,31A-6c=-180$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}3&-13\\31&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-255\\-180\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}3&-13\\31&-6\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-13\\31&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-13\\31&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-13\\31&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-255\\-180\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-13\\31&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-255\\-180\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-13\\31&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-255\\-180\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{3\left(-6\right)-\left(-13\times 31\right)}&-\frac{-13}{3\left(-6\right)-\left(-13\times 31\right)}\\-\frac{31}{3\left(-6\right)-\left(-13\times 31\right)}&\frac{3}{3\left(-6\right)-\left(-13\times 31\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-255\\-180\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{385}&\frac{13}{385}\\-\frac{31}{385}&\frac{3}{385}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-255\\-180\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{385}\left(-255\right)+\frac{13}{385}\left(-180\right)\\-\frac{31}{385}\left(-255\right)+\frac{3}{385}\left(-180\right)\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{162}{77}\\\frac{1473}{77}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू A र c लाई ता्नुहोस्।

$$A=-\frac{162}{77},c=\frac{1473}{77}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$3A-13c=-255,31A-6c=-180$$

3A र 31A लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 31 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 3 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$31\times 3A+31\left(-13\right)c=31\left(-255\right),3\times 31A+3\left(-6\right)c=3\left(-180\right)$$

सरल गर्नुहोस्।

$$93A-403c=-7905,93A-18c=-540$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 93A-403c=-7905 बाट 93A-18c=-540 घटाउनुहोस्।

$$93A-93A-403c+18c=-7905+540$$

-93A मा 93A जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 93A र -93A राशी रद्द हुन्छन्।

$$-403c+18c=-7905+540$$

18c मा -403c जोड्नुहोस्

$$-385c=-7905+540$$

540 मा -7905 जोड्नुहोस्

$$-385c=-7365$$

दुबैतिर -385 ले भाग गर्नुहोस्।

$$c=\frac{1473}{77}$$

31A-6c=-180 मा c लाई \frac{1473}{77} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले A लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$31A-6\times \frac{1473}{77}=-180$$

-6 लाई \frac{1473}{77} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$31A-\frac{8838}{77}=-180$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{8838}{77} जोड्नुहोस्।

$$31A=-\frac{5022}{77}$$

दुबैतिर 31 ले भाग गर्नुहोस्।

$$A=-\frac{162}{77}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$A=-\frac{162}{77},c=\frac{1473}{77}$$