समाधान {l}{3(x+2)-y=17}{7x+3(y-1)=12}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 ( x + 2 ) - y = 17 } \\ { 7 x + 3 ( y - 1 ) = 12 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=3$$

$$y=-2$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$3\left(x+2\right)-y=17,7x+3\left(y-1\right)=12$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$3\left(x+2\right)-y=17$$

3 लाई x+2 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$3x+6-y=17$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 6 घटाउनुहोस्।

$$3x-y=11$$

समीकरणको दुबैतिर y जोड्नुहोस्।

$$3x=y+11$$

दुबैतिर 3 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{3}\left(y+11\right)$$

\frac{1}{3} लाई y+11 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{3}y+\frac{11}{3}$$

\frac{11+y}{3} लाई x ले अर्को समीकरण 7x+3\left(y-1\right)=12 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$7\left(\frac{1}{3}y+\frac{11}{3}\right)+3\left(y-1\right)=12$$

7 लाई \frac{11+y}{3} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$\frac{7}{3}y+\frac{77}{3}+3\left(y-1\right)=12$$

3 लाई y-1 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$\frac{7}{3}y+\frac{77}{3}+3y-3=12$$

3y मा \frac{7y}{3} जोड्नुहोस्

$$\frac{16}{3}y+\frac{77}{3}-3=12$$

-3 मा \frac{77}{3} जोड्नुहोस्

$$\frac{16}{3}y+\frac{68}{3}=12$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{68}{3} घटाउनुहोस्।

$$\frac{16}{3}y=-\frac{32}{3}$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{16}{3} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$y=-2$$

x=\frac{1}{3}y+\frac{11}{3} मा y लाई -2 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=\frac{1}{3}\left(-2\right)+\frac{11}{3}$$

\frac{1}{3} लाई -2 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{-2+11}{3}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{11}{3} लाई -\frac{2}{3} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x=3$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=3,y=-2$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$3\left(x+2\right)-y=17,7x+3\left(y-1\right)=12$$

यसलाई स्तरीय रूपमा राख्न पहिलो समीकरणलाई सरलीकृत गर्नुहोस्।

$$3\left(x+2\right)-y=17$$

3 लाई x+2 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$3x+6-y=17$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 6 घटाउनुहोस्।

$$3x-y=11$$

यसलाई स्तरीय रूपमा राख्न दोस्रो समीकरणलाई सरलीकृत गर्नुहोस्।

$$7x+3\left(y-1\right)=12$$

3 लाई y-1 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$7x+3y-3=12$$

समीकरणको दुबैतिर 3 जोड्नुहोस्।

$$7x+3y=15$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\7&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\15\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}3&-1\\7&3\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\7&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\15\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\15\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\15\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-\left(-7\right)}&-\frac{-1}{3\times 3-\left(-7\right)}\\-\frac{7}{3\times 3-\left(-7\right)}&\frac{3}{3\times 3-\left(-7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\15\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{16}&\frac{1}{16}\\-\frac{7}{16}&\frac{3}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\15\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{16}\times 11+\frac{1}{16}\times 15\\-\frac{7}{16}\times 11+\frac{3}{16}\times 15\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=3,y=-2$$