समाधान {l}{3/2x+7/3y=1}{1/4x-7/6y=-3/2}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 / 2 x + 7 / 3 y = 1 } \\ { 1 / 4 x - 7 / 6 y = - 3 / 2 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=-1$$

$$y = \frac{15}{14} = 1\frac{1}{14} \approx 1.071428571$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$\frac{3}{2}x+\frac{7}{3}y=1,\frac{1}{4}x-\frac{7}{6}y=-\frac{3}{2}$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$\frac{3}{2}x+\frac{7}{3}y=1$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{7y}{3} घटाउनुहोस्।

$$\frac{3}{2}x=-\frac{7}{3}y+1$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{3}{2} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$x=\frac{2}{3}\left(-\frac{7}{3}y+1\right)$$

\frac{2}{3} लाई -\frac{7y}{3}+1 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{14}{9}y+\frac{2}{3}$$

-\frac{14y}{9}+\frac{2}{3} लाई x ले अर्को समीकरण \frac{1}{4}x-\frac{7}{6}y=-\frac{3}{2} मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$\frac{1}{4}\left(-\frac{14}{9}y+\frac{2}{3}\right)-\frac{7}{6}y=-\frac{3}{2}$$

\frac{1}{4} लाई -\frac{14y}{9}+\frac{2}{3} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-\frac{7}{18}y+\frac{1}{6}-\frac{7}{6}y=-\frac{3}{2}$$

-\frac{7y}{6} मा -\frac{7y}{18} जोड्नुहोस्

$$-\frac{14}{9}y+\frac{1}{6}=-\frac{3}{2}$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{1}{6} घटाउनुहोस्।

$$-\frac{14}{9}y=-\frac{5}{3}$$

समीकरणको दुबैतिर -\frac{14}{9} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$y=\frac{15}{14}$$

x=-\frac{14}{9}y+\frac{2}{3} मा y लाई \frac{15}{14} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=-\frac{14}{9}\times \frac{15}{14}+\frac{2}{3}$$

अंश पटकले अंशलाई र हर पटकलाई हरले गुणन गरी -\frac{14}{9} लाई \frac{15}{14} पटक गुणन गर्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएसम्म न्यूनतम पदहरूमा भिन्नलाई झार्नुहोस्।

$$x=\frac{-5+2}{3}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{2}{3} लाई -\frac{5}{3} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x=-1$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=-1,y=\frac{15}{14}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$\frac{3}{2}x+\frac{7}{3}y=1,\frac{1}{4}x-\frac{7}{6}y=-\frac{3}{2}$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&\frac{7}{3}\\\frac{1}{4}&-\frac{7}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&\frac{7}{3}\\\frac{1}{4}&-\frac{7}{6}\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&\frac{7}{3}\\\frac{1}{4}&-\frac{7}{6}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&\frac{7}{3}\\\frac{1}{4}&-\frac{7}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&\frac{7}{3}\\\frac{1}{4}&-\frac{7}{6}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&\frac{7}{3}\\\frac{1}{4}&-\frac{7}{6}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&\frac{7}{3}\\\frac{1}{4}&-\frac{7}{6}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{7}{6}}{\frac{3}{2}\left(-\frac{7}{6}\right)-\frac{7}{3}\times \frac{1}{4}}&-\frac{\frac{7}{3}}{\frac{3}{2}\left(-\frac{7}{6}\right)-\frac{7}{3}\times \frac{1}{4}}\\-\frac{\frac{1}{4}}{\frac{3}{2}\left(-\frac{7}{6}\right)-\frac{7}{3}\times \frac{1}{4}}&\frac{\frac{3}{2}}{\frac{3}{2}\left(-\frac{7}{6}\right)-\frac{7}{3}\times \frac{1}{4}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&1\\\frac{3}{28}&-\frac{9}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1-3}{2}\\\frac{3}{28}-\frac{9}{14}\left(-\frac{3}{2}\right)\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\\frac{15}{14}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=-1,y=\frac{15}{14}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$\frac{3}{2}x+\frac{7}{3}y=1,\frac{1}{4}x-\frac{7}{6}y=-\frac{3}{2}$$

\frac{3x}{2} र \frac{x}{4} लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई \frac{1}{4} ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई \frac{3}{2} ले गुणन गर्नुहोस्।

$$\frac{1}{4}\times \frac{3}{2}x+\frac{1}{4}\times \frac{7}{3}y=\frac{1}{4},\frac{3}{2}\times \frac{1}{4}x+\frac{3}{2}\left(-\frac{7}{6}\right)y=\frac{3}{2}\left(-\frac{3}{2}\right)$$

सरल गर्नुहोस्।

$$\frac{3}{8}x+\frac{7}{12}y=\frac{1}{4},\frac{3}{8}x-\frac{7}{4}y=-\frac{9}{4}$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर \frac{3}{8}x+\frac{7}{12}y=\frac{1}{4} बाट \frac{3}{8}x-\frac{7}{4}y=-\frac{9}{4} घटाउनुहोस्।

$$\frac{3}{8}x-\frac{3}{8}x+\frac{7}{12}y+\frac{7}{4}y=\frac{1+9}{4}$$

-\frac{3x}{8} मा \frac{3x}{8} जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै \frac{3x}{8} र -\frac{3x}{8} राशी रद्द हुन्छन्।

$$\frac{7}{12}y+\frac{7}{4}y=\frac{1+9}{4}$$

\frac{7y}{4} मा \frac{7y}{12} जोड्नुहोस्

$$\frac{7}{3}y=\frac{1+9}{4}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{1}{4} लाई \frac{9}{4} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$\frac{7}{3}y=\frac{5}{2}$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{7}{3} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$y=\frac{15}{14}$$

\frac{1}{4}x-\frac{7}{6}y=-\frac{3}{2} मा y लाई \frac{15}{14} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$\frac{1}{4}x-\frac{7}{6}\times \frac{15}{14}=-\frac{3}{2}$$

अंश पटकले अंशलाई र हर पटकलाई हरले गुणन गरी -\frac{7}{6} लाई \frac{15}{14} पटक गुणन गर्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएसम्म न्यूनतम पदहरूमा भिन्नलाई झार्नुहोस्।

$$\frac{1}{4}x-\frac{5}{4}=-\frac{3}{2}$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{5}{4} जोड्नुहोस्।

$$\frac{1}{4}x=-\frac{1}{4}$$

दुबैतिर 4 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-1$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=-1,y=\frac{15}{14}$$