समाधान {l}{25x+y=9}{1.6x+0.2y=13}

$$\left. \begin{array} { l } { 25 x + y = 9 } \\ { 1.6 x + 0.2 y = 13 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x = -\frac{56}{17} = -3\frac{5}{17} \approx -3.294117647$$

$$y = \frac{1553}{17} = 91\frac{6}{17} \approx 91.352941176$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$25x+y=9,1.6x+0.2y=13$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$25x+y=9$$

समीकरणको दुबैतिरबाट y घटाउनुहोस्।

$$25x=-y+9$$

दुबैतिर 25 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{25}\left(-y+9\right)$$

\frac{1}{25} लाई -y+9 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{1}{25}y+\frac{9}{25}$$

\frac{-y+9}{25} लाई x ले अर्को समीकरण 1.6x+0.2y=13 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$1.6\left(-\frac{1}{25}y+\frac{9}{25}\right)+0.2y=13$$

1.6 लाई \frac{-y+9}{25} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-\frac{8}{125}y+\frac{72}{125}+0.2y=13$$

\frac{y}{5} मा -\frac{8y}{125} जोड्नुहोस्

$$\frac{17}{125}y+\frac{72}{125}=13$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{72}{125} घटाउनुहोस्।

$$\frac{17}{125}y=\frac{1553}{125}$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{17}{125} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$y=\frac{1553}{17}$$

x=-\frac{1}{25}y+\frac{9}{25} मा y लाई \frac{1553}{17} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=-\frac{1}{25}\times \frac{1553}{17}+\frac{9}{25}$$

अंश पटकले अंशलाई र हर पटकलाई हरले गुणन गरी -\frac{1}{25} लाई \frac{1553}{17} पटक गुणन गर्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएसम्म न्यूनतम पदहरूमा भिन्नलाई झार्नुहोस्।

$$x=-\frac{1553}{425}+\frac{9}{25}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{9}{25} लाई -\frac{1553}{425} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x=-\frac{56}{17}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=-\frac{56}{17},y=\frac{1553}{17}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$25x+y=9,1.6x+0.2y=13$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}25&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}25&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}25&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.2}{25\times 0.2-1.6}&-\frac{1}{25\times 0.2-1.6}\\-\frac{1.6}{25\times 0.2-1.6}&\frac{25}{25\times 0.2-1.6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{17}&-\frac{5}{17}\\-\frac{8}{17}&\frac{125}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{17}\times 9-\frac{5}{17}\times 13\\-\frac{8}{17}\times 9+\frac{125}{17}\times 13\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{56}{17}\\\frac{1553}{17}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=-\frac{56}{17},y=\frac{1553}{17}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$25x+y=9,1.6x+0.2y=13$$

25x र \frac{8x}{5} लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 1.6 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 25 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$1.6\times 25x+1.6y=1.6\times 9,25\times 1.6x+25\times 0.2y=25\times 13$$

सरल गर्नुहोस्।

$$40x+1.6y=14.4,40x+5y=325$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 40x+1.6y=14.4 बाट 40x+5y=325 घटाउनुहोस्।

$$40x-40x+1.6y-5y=14.4-325$$

-40x मा 40x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 40x र -40x राशी रद्द हुन्छन्।

$$1.6y-5y=14.4-325$$

-5y मा \frac{8y}{5} जोड्नुहोस्

$$-3.4y=14.4-325$$

-325 मा 14.4 जोड्नुहोस्

$$-3.4y=-310.6$$

समीकरणको दुबैतिर -3.4 ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$y=\frac{1553}{17}$$

1.6x+0.2y=13 मा y लाई \frac{1553}{17} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$1.6x+0.2\times \frac{1553}{17}=13$$

अंश पटकले अंशलाई र हर पटकलाई हरले गुणन गरी 0.2 लाई \frac{1553}{17} पटक गुणन गर्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएसम्म न्यूनतम पदहरूमा भिन्नलाई झार्नुहोस्।

$$1.6x+\frac{1553}{85}=13$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{1553}{85} घटाउनुहोस्।

$$1.6x=-\frac{448}{85}$$

समीकरणको दुबैतिर 1.6 ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$x=-\frac{56}{17}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=-\frac{56}{17},y=\frac{1553}{17}$$