समाधान {l}{22x+y=50}{27x-y=96}

$$\left. \begin{array} { l } { 22 x + y = 50 } \\ { 27 x - y = 96 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x = \frac{146}{49} = 2\frac{48}{49} \approx 2.979591837$$

$$y = -\frac{762}{49} = -15\frac{27}{49} \approx -15.551020408$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$22x+y=50,27x-y=96$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$22x+y=50$$

समीकरणको दुबैतिरबाट y घटाउनुहोस्।

$$22x=-y+50$$

दुबैतिर 22 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{22}\left(-y+50\right)$$

\frac{1}{22} लाई -y+50 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{1}{22}y+\frac{25}{11}$$

-\frac{y}{22}+\frac{25}{11} लाई x ले अर्को समीकरण 27x-y=96 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$27\left(-\frac{1}{22}y+\frac{25}{11}\right)-y=96$$

27 लाई -\frac{y}{22}+\frac{25}{11} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-\frac{27}{22}y+\frac{675}{11}-y=96$$

-y मा -\frac{27y}{22} जोड्नुहोस्

$$-\frac{49}{22}y+\frac{675}{11}=96$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{675}{11} घटाउनुहोस्।

$$-\frac{49}{22}y=\frac{381}{11}$$

समीकरणको दुबैतिर -\frac{49}{22} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$y=-\frac{762}{49}$$

x=-\frac{1}{22}y+\frac{25}{11} मा y लाई -\frac{762}{49} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=-\frac{1}{22}\left(-\frac{762}{49}\right)+\frac{25}{11}$$

अंश पटकले अंशलाई र हर पटकलाई हरले गुणन गरी -\frac{1}{22} लाई -\frac{762}{49} पटक गुणन गर्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएसम्म न्यूनतम पदहरूमा भिन्नलाई झार्नुहोस्।

$$x=\frac{381}{539}+\frac{25}{11}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{25}{11} लाई \frac{381}{539} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x=\frac{146}{49}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{146}{49},y=-\frac{762}{49}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$22x+y=50,27x-y=96$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}22&1\\27&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}50\\96\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}22&1\\27&-1\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}22&1\\27&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22&1\\27&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}22&1\\27&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\96\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}22&1\\27&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\96\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}22&1\\27&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\96\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{22\left(-1\right)-27}&-\frac{1}{22\left(-1\right)-27}\\-\frac{27}{22\left(-1\right)-27}&\frac{22}{22\left(-1\right)-27}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}50\\96\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{49}&\frac{1}{49}\\\frac{27}{49}&-\frac{22}{49}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}50\\96\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{49}\times 50+\frac{1}{49}\times 96\\\frac{27}{49}\times 50-\frac{22}{49}\times 96\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{146}{49}\\-\frac{762}{49}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=\frac{146}{49},y=-\frac{762}{49}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$22x+y=50,27x-y=96$$

22x र 27x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 27 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 22 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$27\times 22x+27y=27\times 50,22\times 27x+22\left(-1\right)y=22\times 96$$

सरल गर्नुहोस्।

$$594x+27y=1350,594x-22y=2112$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 594x+27y=1350 बाट 594x-22y=2112 घटाउनुहोस्।

$$594x-594x+27y+22y=1350-2112$$

-594x मा 594x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 594x र -594x राशी रद्द हुन्छन्।

$$27y+22y=1350-2112$$

22y मा 27y जोड्नुहोस्

$$49y=1350-2112$$

-2112 मा 1350 जोड्नुहोस्

$$49y=-762$$

दुबैतिर 49 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=-\frac{762}{49}$$

27x-y=96 मा y लाई -\frac{762}{49} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$27x-\left(-\frac{762}{49}\right)=96$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{762}{49} घटाउनुहोस्।

$$27x=\frac{3942}{49}$$

दुबैतिर 27 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{146}{49}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{146}{49},y=-\frac{762}{49}$$