समाधान {l}{2.5x+2.5y=17}{-1.5x-7.5y=-33}

$$\left. \begin{array} { l } { 2.5 x + 2.5 y = 17 } \\ { - 1.5 x - 7.5 y = - 33 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=3$$

$$y=3.8$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$2.5x+2.5y=17,-1.5x-7.5y=-33$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$2.5x+2.5y=17$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{5y}{2} घटाउनुहोस्।

$$2.5x=-2.5y+17$$

समीकरणको दुबैतिर 2.5 ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$x=0.4\left(-2.5y+17\right)$$

0.4 लाई -\frac{5y}{2}+17 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-y+6.8$$

-y+6.8 लाई x ले अर्को समीकरण -1.5x-7.5y=-33 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$-1.5\left(-y+6.8\right)-7.5y=-33$$

-1.5 लाई -y+6.8 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$1.5y-10.2-7.5y=-33$$

-\frac{15y}{2} मा \frac{3y}{2} जोड्नुहोस्

$$-6y-10.2=-33$$

समीकरणको दुबैतिर 10.2 जोड्नुहोस्।

$$-6y=-22.8$$

दुबैतिर -6 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=3.8$$

x=-y+6.8 मा y लाई 3.8 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=-3.8+6.8$$

-1 लाई 3.8 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{-19+34}{5}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर 6.8 लाई -3.8 मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x=3$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=3,y=3.8$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$2.5x+2.5y=17,-1.5x-7.5y=-33$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}2.5&2.5\\-1.5&-7.5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}17\\-33\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}2.5&2.5\\-1.5&-7.5\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}2.5&2.5\\-1.5&-7.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2.5&2.5\\-1.5&-7.5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2.5&2.5\\-1.5&-7.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\-33\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2.5&2.5\\-1.5&-7.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\-33\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2.5&2.5\\-1.5&-7.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\-33\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7.5}{2.5\left(-7.5\right)-2.5\left(-1.5\right)}&-\frac{2.5}{2.5\left(-7.5\right)-2.5\left(-1.5\right)}\\-\frac{-1.5}{2.5\left(-7.5\right)-2.5\left(-1.5\right)}&\frac{2.5}{2.5\left(-7.5\right)-2.5\left(-1.5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\-33\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{6}\\-\frac{1}{10}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\-33\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 17+\frac{1}{6}\left(-33\right)\\-\frac{1}{10}\times 17-\frac{1}{6}\left(-33\right)\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\\frac{19}{5}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=3,y=\frac{19}{5}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$2.5x+2.5y=17,-1.5x-7.5y=-33$$

\frac{5x}{2} र -\frac{3x}{2} लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई -1.5 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 2.5 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$-1.5\times 2.5x-1.5\times 2.5y=-1.5\times 17,2.5\left(-1.5\right)x+2.5\left(-7.5\right)y=2.5\left(-33\right)$$

सरल गर्नुहोस्।

$$-3.75x-3.75y=-25.5,-3.75x-18.75y=-82.5$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर -3.75x-3.75y=-25.5 बाट -3.75x-18.75y=-82.5 घटाउनुहोस्।

$$-3.75x+3.75x-3.75y+18.75y=\frac{-51+165}{2}$$

\frac{15x}{4} मा -\frac{15x}{4} जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै -\frac{15x}{4} र \frac{15x}{4} राशी रद्द हुन्छन्।

$$-3.75y+18.75y=\frac{-51+165}{2}$$

\frac{75y}{4} मा -\frac{15y}{4} जोड्नुहोस्

$$15y=\frac{-51+165}{2}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर -25.5 लाई 82.5 मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$15y=57$$

दुबैतिर 15 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=\frac{19}{5}$$

-1.5x-7.5y=-33 मा y लाई \frac{19}{5} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$-1.5x-7.5\times \frac{19}{5}=-33$$

अंश पटकले अंशलाई र हर पटकलाई हरले गुणन गरी -7.5 लाई \frac{19}{5} पटक गुणन गर्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएसम्म न्यूनतम पदहरूमा भिन्नलाई झार्नुहोस्।

$$-1.5x-\frac{57}{2}=-33$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{57}{2} जोड्नुहोस्।

$$-1.5x=-\frac{9}{2}$$

समीकरणको दुबैतिर -1.5 ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$x=3$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=3,y=\frac{19}{5}$$