समाधान {l}{2y-3x=-27}{5y+3x=6}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 y - 3 x = - 27 } \\ { 5 y + 3 x = 6 } \end{array} \right.$$

y, x को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=7$$

$$y=-3$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$2y-3x=-27,5y+3x=6$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको y लाई अलग गरी y का लागि हल गर्नुहोस्।

$$2y-3x=-27$$

समीकरणको दुबैतिर 3x जोड्नुहोस्।

$$2y=3x-27$$

दुबैतिर 2 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=\frac{1}{2}\left(3x-27\right)$$

\frac{1}{2} लाई -27+3x पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$y=\frac{3}{2}x-\frac{27}{2}$$

\frac{-27+3x}{2} लाई y ले अर्को समीकरण 5y+3x=6 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$5\left(\frac{3}{2}x-\frac{27}{2}\right)+3x=6$$

5 लाई \frac{-27+3x}{2} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$\frac{15}{2}x-\frac{135}{2}+3x=6$$

3x मा \frac{15x}{2} जोड्नुहोस्

$$\frac{21}{2}x-\frac{135}{2}=6$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{135}{2} जोड्नुहोस्।

$$\frac{21}{2}x=\frac{147}{2}$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{21}{2} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$x=7$$

y=\frac{3}{2}x-\frac{27}{2} मा x लाई 7 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले y लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$y=\frac{3}{2}\times 7-\frac{27}{2}$$

\frac{3}{2} लाई 7 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$y=\frac{21-27}{2}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर -\frac{27}{2} लाई \frac{21}{2} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$y=-3$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$y=-3,x=7$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$2y-3x=-27,5y+3x=6$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-27\\6\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}2&-3\\5&3\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-27\\6\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-27\\6\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-27\\6\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-\left(-3\times 5\right)}&-\frac{-3}{2\times 3-\left(-3\times 5\right)}\\-\frac{5}{2\times 3-\left(-3\times 5\right)}&\frac{2}{2\times 3-\left(-3\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-27\\6\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&\frac{1}{7}\\-\frac{5}{21}&\frac{2}{21}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-27\\6\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\left(-27\right)+\frac{1}{7}\times 6\\-\frac{5}{21}\left(-27\right)+\frac{2}{21}\times 6\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\7\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू y र x लाई ता्नुहोस्।

$$y=-3,x=7$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$2y-3x=-27,5y+3x=6$$

2y र 5y लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 5 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 2 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$5\times 2y+5\left(-3\right)x=5\left(-27\right),2\times 5y+2\times 3x=2\times 6$$

सरल गर्नुहोस्।

$$10y-15x=-135,10y+6x=12$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 10y-15x=-135 बाट 10y+6x=12 घटाउनुहोस्।

$$10y-10y-15x-6x=-135-12$$

-10y मा 10y जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 10y र -10y राशी रद्द हुन्छन्।

$$-15x-6x=-135-12$$

-6x मा -15x जोड्नुहोस्

$$-21x=-135-12$$

-12 मा -135 जोड्नुहोस्

$$-21x=-147$$

दुबैतिर -21 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=7$$

5y+3x=6 मा x लाई 7 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले y लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$5y+3\times 7=6$$

3 लाई 7 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$5y+21=6$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 21 घटाउनुहोस्।

$$5y=-15$$

दुबैतिर 5 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=-3$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$y=-3,x=7$$