समाधान {l}{2y-2x=-40}{3x+2y=10}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 y - 2 x = - 40 } \\ { 3 x + 2 y = 10 } \end{array} \right.$$

y, x को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=10$$

$$y=-10$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$2y-2x=-40,2y+3x=10$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको y लाई अलग गरी y का लागि हल गर्नुहोस्।

$$2y-2x=-40$$

समीकरणको दुबैतिर 2x जोड्नुहोस्।

$$2y=2x-40$$

दुबैतिर 2 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=\frac{1}{2}\left(2x-40\right)$$

\frac{1}{2} लाई -40+2x पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$y=x-20$$

x-20 लाई y ले अर्को समीकरण 2y+3x=10 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$2\left(x-20\right)+3x=10$$

2 लाई x-20 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$2x-40+3x=10$$

3x मा 2x जोड्नुहोस्

$$5x-40=10$$

समीकरणको दुबैतिर 40 जोड्नुहोस्।

$$5x=50$$

दुबैतिर 5 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=10$$

y=x-20 मा x लाई 10 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले y लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$y=10-20$$

10 मा -20 जोड्नुहोस्

$$y=-10$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$y=-10,x=10$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$2y-2x=-40,2y+3x=10$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}2&-2\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-40\\10\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}2&-2\\2&3\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-2\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-40\\10\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-40\\10\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-40\\10\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-\left(-2\times 2\right)}&-\frac{-2}{2\times 3-\left(-2\times 2\right)}\\-\frac{2}{2\times 3-\left(-2\times 2\right)}&\frac{2}{2\times 3-\left(-2\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-40\\10\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}&\frac{1}{5}\\-\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-40\\10\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}\left(-40\right)+\frac{1}{5}\times 10\\-\frac{1}{5}\left(-40\right)+\frac{1}{5}\times 10\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\10\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू y र x लाई ता्नुहोस्।

$$y=-10,x=10$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$2y-2x=-40,2y+3x=10$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 2y-2x=-40 बाट 2y+3x=10 घटाउनुहोस्।

$$2y-2y-2x-3x=-40-10$$

-2y मा 2y जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 2y र -2y राशी रद्द हुन्छन्।

$$-2x-3x=-40-10$$

-3x मा -2x जोड्नुहोस्

$$-5x=-40-10$$

-10 मा -40 जोड्नुहोस्

$$-5x=-50$$

दुबैतिर -5 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=10$$

2y+3x=10 मा x लाई 10 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले y लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$2y+3\times 10=10$$

3 लाई 10 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$2y+30=10$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 30 घटाउनुहोस्।

$$2y=-20$$

दुबैतिर 2 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=-10$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$y=-10,x=10$$