समाधान {l}{2x_{1}+3x_{2}=7}{4x_{1}-4x_{2}=-6}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x _ { 1 } + 3 x _ { 2 } = 7 } \\ { 4 x _ { 1 } - 4 x _ { 2 } = - 6 } \end{array} \right.$$

x_1, x_2 को लागि हल गर्नुहोस्

$$x_{1}=\frac{1}{2}=0.5$$

$$x_{2}=2$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$2x_{1}+3x_{2}=7,4x_{1}-4x_{2}=-6$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x_{1} लाई अलग गरी x_{1} का लागि हल गर्नुहोस्।

$$2x_{1}+3x_{2}=7$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 3x_{2} घटाउनुहोस्।

$$2x_{1}=-3x_{2}+7$$

दुबैतिर 2 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x_{1}=\frac{1}{2}\left(-3x_{2}+7\right)$$

\frac{1}{2} लाई -3x_{2}+7 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x_{1}=-\frac{3}{2}x_{2}+\frac{7}{2}$$

\frac{-3x_{2}+7}{2} लाई x_{1} ले अर्को समीकरण 4x_{1}-4x_{2}=-6 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$4\left(-\frac{3}{2}x_{2}+\frac{7}{2}\right)-4x_{2}=-6$$

4 लाई \frac{-3x_{2}+7}{2} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-6x_{2}+14-4x_{2}=-6$$

-4x_{2} मा -6x_{2} जोड्नुहोस्

$$-10x_{2}+14=-6$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 14 घटाउनुहोस्।

$$-10x_{2}=-20$$

दुबैतिर -10 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x_{2}=2$$

x_{1}=-\frac{3}{2}x_{2}+\frac{7}{2} मा x_{2} लाई 2 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x_{1} लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x_{1}=-\frac{3}{2}\times 2+\frac{7}{2}$$

-\frac{3}{2} लाई 2 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x_{1}=-3+\frac{7}{2}$$

-3 मा \frac{7}{2} जोड्नुहोस्

$$x_{1}=\frac{1}{2}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x_{1}=\frac{1}{2},x_{2}=2$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$2x_{1}+3x_{2}=7,4x_{1}-4x_{2}=-6$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{2\left(-4\right)-3\times 4}&-\frac{3}{2\left(-4\right)-3\times 4}\\-\frac{4}{2\left(-4\right)-3\times 4}&\frac{2}{2\left(-4\right)-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{3}{20}\\\frac{1}{5}&-\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 7+\frac{3}{20}\left(-6\right)\\\frac{1}{5}\times 7-\frac{1}{10}\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\2\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x_{1} र x_{2} लाई ता्नुहोस्।

$$x_{1}=\frac{1}{2},x_{2}=2$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$2x_{1}+3x_{2}=7,4x_{1}-4x_{2}=-6$$

2x_{1} र 4x_{1} लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 4 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 2 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$4\times 2x_{1}+4\times 3x_{2}=4\times 7,2\times 4x_{1}+2\left(-4\right)x_{2}=2\left(-6\right)$$

सरल गर्नुहोस्।

$$8x_{1}+12x_{2}=28,8x_{1}-8x_{2}=-12$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 8x_{1}+12x_{2}=28 बाट 8x_{1}-8x_{2}=-12 घटाउनुहोस्।

$$8x_{1}-8x_{1}+12x_{2}+8x_{2}=28+12$$

-8x_{1} मा 8x_{1} जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 8x_{1} र -8x_{1} राशी रद्द हुन्छन्।

$$12x_{2}+8x_{2}=28+12$$

8x_{2} मा 12x_{2} जोड्नुहोस्

$$20x_{2}=28+12$$

12 मा 28 जोड्नुहोस्

$$20x_{2}=40$$

दुबैतिर 20 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x_{2}=2$$

4x_{1}-4x_{2}=-6 मा x_{2} लाई 2 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x_{1} लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$4x_{1}-4\times 2=-6$$

-4 लाई 2 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$4x_{1}-8=-6$$

समीकरणको दुबैतिर 8 जोड्नुहोस्।

$$4x_{1}=2$$

दुबैतिर 4 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x_{1}=\frac{1}{2}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x_{1}=\frac{1}{2},x_{2}=2$$