समाधान {l}{2x-y=13}{-2x-5y=17}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - y = 13 } \\ { - 2 x - 5 y = 17 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=4$$

$$y=-5$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$2x-y=13,-2x-5y=17$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$2x-y=13$$

समीकरणको दुबैतिर y जोड्नुहोस्।

$$2x=y+13$$

दुबैतिर 2 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{2}\left(y+13\right)$$

\frac{1}{2} लाई y+13 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{2}y+\frac{13}{2}$$

\frac{13+y}{2} लाई x ले अर्को समीकरण -2x-5y=17 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$-2\left(\frac{1}{2}y+\frac{13}{2}\right)-5y=17$$

-2 लाई \frac{13+y}{2} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-y-13-5y=17$$

-5y मा -y जोड्नुहोस्

$$-6y-13=17$$

समीकरणको दुबैतिर 13 जोड्नुहोस्।

$$-6y=30$$

दुबैतिर -6 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=-5$$

x=\frac{1}{2}y+\frac{13}{2} मा y लाई -5 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=\frac{1}{2}\left(-5\right)+\frac{13}{2}$$

\frac{1}{2} लाई -5 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{-5+13}{2}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{13}{2} लाई -\frac{5}{2} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x=4$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=4,y=-5$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$2x-y=13,-2x-5y=17$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\-2&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\17\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}2&-1\\-2&-5\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\-2&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\17\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\17\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\17\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2\left(-5\right)-\left(-\left(-2\right)\right)}&-\frac{-1}{2\left(-5\right)-\left(-\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{2\left(-5\right)-\left(-\left(-2\right)\right)}&\frac{2}{2\left(-5\right)-\left(-\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\17\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{12}&-\frac{1}{12}\\-\frac{1}{6}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\17\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{12}\times 13-\frac{1}{12}\times 17\\-\frac{1}{6}\times 13-\frac{1}{6}\times 17\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-5\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=4,y=-5$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$2x-y=13,-2x-5y=17$$

2x र -2x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई -2 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 2 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$-2\times 2x-2\left(-1\right)y=-2\times 13,2\left(-2\right)x+2\left(-5\right)y=2\times 17$$

सरल गर्नुहोस्।

$$-4x+2y=-26,-4x-10y=34$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर -4x+2y=-26 बाट -4x-10y=34 घटाउनुहोस्।

$$-4x+4x+2y+10y=-26-34$$

4x मा -4x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै -4x र 4x राशी रद्द हुन्छन्।

$$2y+10y=-26-34$$

10y मा 2y जोड्नुहोस्

$$12y=-26-34$$

-34 मा -26 जोड्नुहोस्

$$12y=-60$$

दुबैतिर 12 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=-5$$

-2x-5y=17 मा y लाई -5 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$-2x-5\left(-5\right)=17$$

-5 लाई -5 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-2x+25=17$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 25 घटाउनुहोस्।

$$-2x=-8$$

दुबैतिर -2 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=4$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=4,y=-5$$