समाधान {l}{2x-5y=4}{3x+2y=5}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 5 y = 4 } \\ { 3 x + 2 y = 5 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x = \frac{33}{19} = 1\frac{14}{19} \approx 1.736842105$$

$$y=-\frac{2}{19}\approx -0.105263158$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$2x-5y=4,3x+2y=5$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$2x-5y=4$$

समीकरणको दुबैतिर 5y जोड्नुहोस्।

$$2x=5y+4$$

दुबैतिर 2 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{2}\left(5y+4\right)$$

\frac{1}{2} लाई 5y+4 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{5}{2}y+2$$

\frac{5y}{2}+2 लाई x ले अर्को समीकरण 3x+2y=5 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$3\left(\frac{5}{2}y+2\right)+2y=5$$

3 लाई \frac{5y}{2}+2 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$\frac{15}{2}y+6+2y=5$$

2y मा \frac{15y}{2} जोड्नुहोस्

$$\frac{19}{2}y+6=5$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 6 घटाउनुहोस्।

$$\frac{19}{2}y=-1$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{19}{2} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$y=-\frac{2}{19}$$

x=\frac{5}{2}y+2 मा y लाई -\frac{2}{19} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=\frac{5}{2}\left(-\frac{2}{19}\right)+2$$

अंश पटकले अंशलाई र हर पटकलाई हरले गुणन गरी \frac{5}{2} लाई -\frac{2}{19} पटक गुणन गर्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएसम्म न्यूनतम पदहरूमा भिन्नलाई झार्नुहोस्।

$$x=-\frac{5}{19}+2$$

-\frac{5}{19} मा 2 जोड्नुहोस्

$$x=\frac{33}{19}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{33}{19},y=-\frac{2}{19}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$2x-5y=4,3x+2y=5$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}2&-5\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\5\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}2&-5\\3&2\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-5\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\5\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\5\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-\left(-5\times 3\right)}&-\frac{-5}{2\times 2-\left(-5\times 3\right)}\\-\frac{3}{2\times 2-\left(-5\times 3\right)}&\frac{2}{2\times 2-\left(-5\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\5\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{19}&\frac{5}{19}\\-\frac{3}{19}&\frac{2}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\5\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{19}\times 4+\frac{5}{19}\times 5\\-\frac{3}{19}\times 4+\frac{2}{19}\times 5\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{33}{19}\\-\frac{2}{19}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=\frac{33}{19},y=-\frac{2}{19}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$2x-5y=4,3x+2y=5$$

2x र 3x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 3 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 2 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$3\times 2x+3\left(-5\right)y=3\times 4,2\times 3x+2\times 2y=2\times 5$$

सरल गर्नुहोस्।

$$6x-15y=12,6x+4y=10$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 6x-15y=12 बाट 6x+4y=10 घटाउनुहोस्।

$$6x-6x-15y-4y=12-10$$

-6x मा 6x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 6x र -6x राशी रद्द हुन्छन्।

$$-15y-4y=12-10$$

-4y मा -15y जोड्नुहोस्

$$-19y=12-10$$

-10 मा 12 जोड्नुहोस्

$$-19y=2$$

दुबैतिर -19 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=-\frac{2}{19}$$

3x+2y=5 मा y लाई -\frac{2}{19} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$3x+2\left(-\frac{2}{19}\right)=5$$

2 लाई -\frac{2}{19} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$3x-\frac{4}{19}=5$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{4}{19} जोड्नुहोस्।

$$3x=\frac{99}{19}$$

दुबैतिर 3 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{33}{19}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{33}{19},y=-\frac{2}{19}$$