समाधान {l}{2x-5y=10}{4x+y=15}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 5 y = 10 } \\ { 4 x + y = 15 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x = \frac{85}{22} = 3\frac{19}{22} \approx 3.863636364$$

$$y=-\frac{5}{11}\approx -0.454545455$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$2x-5y=10,4x+y=15$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$2x-5y=10$$

समीकरणको दुबैतिर 5y जोड्नुहोस्।

$$2x=5y+10$$

दुबैतिर 2 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{2}\left(5y+10\right)$$

\frac{1}{2} लाई 10+5y पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{5}{2}y+5$$

5+\frac{5y}{2} लाई x ले अर्को समीकरण 4x+y=15 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$4\left(\frac{5}{2}y+5\right)+y=15$$

4 लाई 5+\frac{5y}{2} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$10y+20+y=15$$

y मा 10y जोड्नुहोस्

$$11y+20=15$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 20 घटाउनुहोस्।

$$11y=-5$$

दुबैतिर 11 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=-\frac{5}{11}$$

x=\frac{5}{2}y+5 मा y लाई -\frac{5}{11} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=\frac{5}{2}\left(-\frac{5}{11}\right)+5$$

अंश पटकले अंशलाई र हर पटकलाई हरले गुणन गरी \frac{5}{2} लाई -\frac{5}{11} पटक गुणन गर्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएसम्म न्यूनतम पदहरूमा भिन्नलाई झार्नुहोस्।

$$x=-\frac{25}{22}+5$$

-\frac{25}{22} मा 5 जोड्नुहोस्

$$x=\frac{85}{22}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{85}{22},y=-\frac{5}{11}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$2x-5y=10,4x+y=15$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\15\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\15\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\15\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\15\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-5\times 4\right)}&-\frac{-5}{2-\left(-5\times 4\right)}\\-\frac{4}{2-\left(-5\times 4\right)}&\frac{2}{2-\left(-5\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\15\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{22}&\frac{5}{22}\\-\frac{2}{11}&\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\15\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{22}\times 10+\frac{5}{22}\times 15\\-\frac{2}{11}\times 10+\frac{1}{11}\times 15\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{85}{22}\\-\frac{5}{11}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=\frac{85}{22},y=-\frac{5}{11}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$2x-5y=10,4x+y=15$$

2x र 4x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 4 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 2 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$4\times 2x+4\left(-5\right)y=4\times 10,2\times 4x+2y=2\times 15$$

सरल गर्नुहोस्।

$$8x-20y=40,8x+2y=30$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 8x-20y=40 बाट 8x+2y=30 घटाउनुहोस्।

$$8x-8x-20y-2y=40-30$$

-8x मा 8x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 8x र -8x राशी रद्द हुन्छन्।

$$-20y-2y=40-30$$

-2y मा -20y जोड्नुहोस्

$$-22y=40-30$$

-30 मा 40 जोड्नुहोस्

$$-22y=10$$

दुबैतिर -22 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=-\frac{5}{11}$$

4x+y=15 मा y लाई -\frac{5}{11} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$4x-\frac{5}{11}=15$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{5}{11} जोड्नुहोस्।

$$4x=\frac{170}{11}$$

दुबैतिर 4 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{85}{22}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{85}{22},y=-\frac{5}{11}$$