समाधान {l}{2x-4y=10}{6x-4y=11}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 4 y = 10 } \\ { 6 x - 4 y = 11 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=\frac{1}{4}=0.25$$

$$y = -\frac{19}{8} = -2\frac{3}{8} = -2.375$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$2x-4y=10,6x-4y=11$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$2x-4y=10$$

समीकरणको दुबैतिर 4y जोड्नुहोस्।

$$2x=4y+10$$

दुबैतिर 2 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{2}\left(4y+10\right)$$

\frac{1}{2} लाई 4y+10 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=2y+5$$

2y+5 लाई x ले अर्को समीकरण 6x-4y=11 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$6\left(2y+5\right)-4y=11$$

6 लाई 2y+5 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$12y+30-4y=11$$

-4y मा 12y जोड्नुहोस्

$$8y+30=11$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 30 घटाउनुहोस्।

$$8y=-19$$

दुबैतिर 8 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=-\frac{19}{8}$$

x=2y+5 मा y लाई -\frac{19}{8} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=2\left(-\frac{19}{8}\right)+5$$

2 लाई -\frac{19}{8} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{19}{4}+5$$

-\frac{19}{4} मा 5 जोड्नुहोस्

$$x=\frac{1}{4}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{1}{4},y=-\frac{19}{8}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$2x-4y=10,6x-4y=11$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}2&-4\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}2&-4\\6&-4\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-4\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-4\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-4\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-4\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-4\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{2\left(-4\right)-\left(-4\times 6\right)}&-\frac{-4}{2\left(-4\right)-\left(-4\times 6\right)}\\-\frac{6}{2\left(-4\right)-\left(-4\times 6\right)}&\frac{2}{2\left(-4\right)-\left(-4\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{3}{8}&\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\times 10+\frac{1}{4}\times 11\\-\frac{3}{8}\times 10+\frac{1}{8}\times 11\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\\-\frac{19}{8}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{4},y=-\frac{19}{8}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$2x-4y=10,6x-4y=11$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 2x-4y=10 बाट 6x-4y=11 घटाउनुहोस्।

$$2x-6x-4y+4y=10-11$$

4y मा -4y जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै -4y र 4y राशी रद्द हुन्छन्।

$$2x-6x=10-11$$

-6x मा 2x जोड्नुहोस्

$$-4x=10-11$$

-11 मा 10 जोड्नुहोस्

$$-4x=-1$$

दुबैतिर -4 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{4}$$

6x-4y=11 मा x लाई \frac{1}{4} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले y लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$6\times \frac{1}{4}-4y=11$$

6 लाई \frac{1}{4} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$\frac{3}{2}-4y=11$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{3}{2} घटाउनुहोस्।

$$-4y=\frac{19}{2}$$

दुबैतिर -4 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=-\frac{19}{8}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{1}{4},y=-\frac{19}{8}$$