समाधान {l}{2x-3y-10=0}{2y=-17-3x}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 3 y - 10 = 0 } \\ { 2 y = - 17 - 3 x } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x = -\frac{31}{13} = -2\frac{5}{13} \approx -2.384615385$$

$$y = -\frac{64}{13} = -4\frac{12}{13} \approx -4.923076923$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुबै छेउहरूमा 10 थप्नुहोस्। शून्यमा कुनै पनि अंक जोड्दा जोडफल सोही अंक बराबर नै हुन्छ।

$$2x-3y=10$$

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुबै छेउहरूमा 3x थप्नुहोस्।

$$2y+3x=-17$$

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$2x-3y=10,3x+2y=-17$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$2x-3y=10$$

समीकरणको दुबैतिर 3y जोड्नुहोस्।

$$2x=3y+10$$

दुबैतिर 2 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+10\right)$$

\frac{1}{2} लाई 3y+10 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{3}{2}y+5$$

\frac{3y}{2}+5 लाई x ले अर्को समीकरण 3x+2y=-17 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$3\left(\frac{3}{2}y+5\right)+2y=-17$$

3 लाई \frac{3y}{2}+5 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$\frac{9}{2}y+15+2y=-17$$

2y मा \frac{9y}{2} जोड्नुहोस्

$$\frac{13}{2}y+15=-17$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 15 घटाउनुहोस्।

$$\frac{13}{2}y=-32$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{13}{2} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$y=-\frac{64}{13}$$

x=\frac{3}{2}y+5 मा y लाई -\frac{64}{13} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=\frac{3}{2}\left(-\frac{64}{13}\right)+5$$

अंश पटकले अंशलाई र हर पटकलाई हरले गुणन गरी \frac{3}{2} लाई -\frac{64}{13} पटक गुणन गर्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएसम्म न्यूनतम पदहरूमा भिन्नलाई झार्नुहोस्।

$$x=-\frac{96}{13}+5$$

-\frac{96}{13} मा 5 जोड्नुहोस्

$$x=-\frac{31}{13}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=-\frac{31}{13},y=-\frac{64}{13}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुबै छेउहरूमा 10 थप्नुहोस्। शून्यमा कुनै पनि अंक जोड्दा जोडफल सोही अंक बराबर नै हुन्छ।

$$2x-3y=10$$

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुबै छेउहरूमा 3x थप्नुहोस्।

$$2y+3x=-17$$

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$2x-3y=10,3x+2y=-17$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\-17\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-17\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-17\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-17\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{2\times 2-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{2\times 2-\left(-3\times 3\right)}&\frac{2}{2\times 2-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-17\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}&\frac{3}{13}\\-\frac{3}{13}&\frac{2}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-17\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}\times 10+\frac{3}{13}\left(-17\right)\\-\frac{3}{13}\times 10+\frac{2}{13}\left(-17\right)\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{31}{13}\\-\frac{64}{13}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=-\frac{31}{13},y=-\frac{64}{13}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुबै छेउहरूमा 10 थप्नुहोस्। शून्यमा कुनै पनि अंक जोड्दा जोडफल सोही अंक बराबर नै हुन्छ।

$$2x-3y=10$$

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुबै छेउहरूमा 3x थप्नुहोस्।

$$2y+3x=-17$$

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$2x-3y=10,3x+2y=-17$$

2x र 3x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 3 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 2 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$3\times 2x+3\left(-3\right)y=3\times 10,2\times 3x+2\times 2y=2\left(-17\right)$$

सरल गर्नुहोस्।

$$6x-9y=30,6x+4y=-34$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 6x-9y=30 बाट 6x+4y=-34 घटाउनुहोस्।

$$6x-6x-9y-4y=30+34$$

-6x मा 6x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 6x र -6x राशी रद्द हुन्छन्।

$$-9y-4y=30+34$$

-4y मा -9y जोड्नुहोस्

$$-13y=30+34$$

34 मा 30 जोड्नुहोस्

$$-13y=64$$

दुबैतिर -13 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=-\frac{64}{13}$$

3x+2y=-17 मा y लाई -\frac{64}{13} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$3x+2\left(-\frac{64}{13}\right)=-17$$

2 लाई -\frac{64}{13} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$3x-\frac{128}{13}=-17$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{128}{13} जोड्नुहोस्।

$$3x=-\frac{93}{13}$$

दुबैतिर 3 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{31}{13}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=-\frac{31}{13},y=-\frac{64}{13}$$