समाधान {l}{2x-1y=120}{1x-1y=250}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 1 y = 120 } \\ { 1 x - 1 y = 250 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=-130$$

$$y=-380$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$2x-y=120,x-y=250$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$2x-y=120$$

समीकरणको दुबैतिर y जोड्नुहोस्।

$$2x=y+120$$

दुबैतिर 2 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{2}\left(y+120\right)$$

\frac{1}{2} लाई y+120 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{2}y+60$$

\frac{y}{2}+60 लाई x ले अर्को समीकरण x-y=250 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$\frac{1}{2}y+60-y=250$$

-y मा \frac{y}{2} जोड्नुहोस्

$$-\frac{1}{2}y+60=250$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 60 घटाउनुहोस्।

$$-\frac{1}{2}y=190$$

दुबैतिर -2 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$y=-380$$

x=\frac{1}{2}y+60 मा y लाई -380 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=\frac{1}{2}\left(-380\right)+60$$

\frac{1}{2} लाई -380 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-190+60$$

-190 मा 60 जोड्नुहोस्

$$x=-130$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=-130,y=-380$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$2x-y=120,x-y=250$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}120\\250\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}2&-1\\1&-1\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}120\\250\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}120\\250\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}120\\250\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{2\left(-1\right)-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{2\left(-1\right)-\left(-1\right)}&\frac{2}{2\left(-1\right)-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}120\\250\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}120\\250\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}120-250\\120-2\times 250\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-130\\-380\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=-130,y=-380$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$2x-y=120,x-y=250$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 2x-y=120 बाट x-y=250 घटाउनुहोस्।

$$2x-x-y+y=120-250$$

y मा -y जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै -y र y राशी रद्द हुन्छन्।

$$2x-x=120-250$$

-x मा 2x जोड्नुहोस्

$$x=120-250$$

-250 मा 120 जोड्नुहोस्

$$x=-130$$

x-y=250 मा x लाई -130 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले y लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$-130-y=250$$

समीकरणको दुबैतिर 130 जोड्नुहोस्।

$$-y=380$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=-130,y=-380$$