समाधान {l}{2x+y=7}{4x-y=5}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y = 7 } \\ { 4 x - y = 5 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=2$$

$$y=3$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$2x+y=7,4x-y=5$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$2x+y=7$$

समीकरणको दुबैतिरबाट y घटाउनुहोस्।

$$2x=-y+7$$

दुबैतिर 2 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+7\right)$$

\frac{1}{2} लाई -y+7 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{7}{2}$$

\frac{-y+7}{2} लाई x ले अर्को समीकरण 4x-y=5 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$4\left(-\frac{1}{2}y+\frac{7}{2}\right)-y=5$$

4 लाई \frac{-y+7}{2} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-2y+14-y=5$$

-y मा -2y जोड्नुहोस्

$$-3y+14=5$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 14 घटाउनुहोस्।

$$-3y=-9$$

दुबैतिर -3 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=3$$

x=-\frac{1}{2}y+\frac{7}{2} मा y लाई 3 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=-\frac{1}{2}\times 3+\frac{7}{2}$$

-\frac{1}{2} लाई 3 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{-3+7}{2}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{7}{2} लाई -\frac{3}{2} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x=2$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=2,y=3$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$2x+y=7,4x-y=5$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}2&1\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}2&1\\4&-1\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-4}&-\frac{1}{2\left(-1\right)-4}\\-\frac{4}{2\left(-1\right)-4}&\frac{2}{2\left(-1\right)-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\\\frac{2}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\times 7+\frac{1}{6}\times 5\\\frac{2}{3}\times 7-\frac{1}{3}\times 5\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=2,y=3$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$2x+y=7,4x-y=5$$

2x र 4x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 4 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 2 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$4\times 2x+4y=4\times 7,2\times 4x+2\left(-1\right)y=2\times 5$$

सरल गर्नुहोस्।

$$8x+4y=28,8x-2y=10$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 8x+4y=28 बाट 8x-2y=10 घटाउनुहोस्।

$$8x-8x+4y+2y=28-10$$

-8x मा 8x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 8x र -8x राशी रद्द हुन्छन्।

$$4y+2y=28-10$$

2y मा 4y जोड्नुहोस्

$$6y=28-10$$

-10 मा 28 जोड्नुहोस्

$$6y=18$$

दुबैतिर 6 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=3$$

4x-y=5 मा y लाई 3 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$4x-3=5$$

समीकरणको दुबैतिर 3 जोड्नुहोस्।

$$4x=8$$

दुबैतिर 4 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=2$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=2,y=3$$