समाधान {l}{2x+y=5}{6x+6y=24}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y = 5 } \\ { 6 x + 6 y = 24 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=1$$

$$y=3$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$2x+y=5,6x+6y=24$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$2x+y=5$$

समीकरणको दुबैतिरबाट y घटाउनुहोस्।

$$2x=-y+5$$

दुबैतिर 2 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+5\right)$$

\frac{1}{2} लाई -y+5 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{5}{2}$$

\frac{-y+5}{2} लाई x ले अर्को समीकरण 6x+6y=24 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$6\left(-\frac{1}{2}y+\frac{5}{2}\right)+6y=24$$

6 लाई \frac{-y+5}{2} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-3y+15+6y=24$$

6y मा -3y जोड्नुहोस्

$$3y+15=24$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 15 घटाउनुहोस्।

$$3y=9$$

दुबैतिर 3 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=3$$

x=-\frac{1}{2}y+\frac{5}{2} मा y लाई 3 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=-\frac{1}{2}\times 3+\frac{5}{2}$$

-\frac{1}{2} लाई 3 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{-3+5}{2}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{5}{2} लाई -\frac{3}{2} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x=1$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=1,y=3$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$2x+y=5,6x+6y=24$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}2&1\\6&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\24\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}2&1\\6&6\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\6&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\6&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\6&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\24\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\6&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\24\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\6&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\24\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{2\times 6-6}&-\frac{1}{2\times 6-6}\\-\frac{6}{2\times 6-6}&\frac{2}{2\times 6-6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\24\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{6}\\-1&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\24\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5-\frac{1}{6}\times 24\\-5+\frac{1}{3}\times 24\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=1,y=3$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$2x+y=5,6x+6y=24$$

2x र 6x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 6 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 2 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$6\times 2x+6y=6\times 5,2\times 6x+2\times 6y=2\times 24$$

सरल गर्नुहोस्।

$$12x+6y=30,12x+12y=48$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 12x+6y=30 बाट 12x+12y=48 घटाउनुहोस्।

$$12x-12x+6y-12y=30-48$$

-12x मा 12x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 12x र -12x राशी रद्द हुन्छन्।

$$6y-12y=30-48$$

-12y मा 6y जोड्नुहोस्

$$-6y=30-48$$

-48 मा 30 जोड्नुहोस्

$$-6y=-18$$

दुबैतिर -6 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=3$$

6x+6y=24 मा y लाई 3 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$6x+6\times 3=24$$

6 लाई 3 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$6x+18=24$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 18 घटाउनुहोस्।

$$6x=6$$

दुबैतिर 6 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=1$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=1,y=3$$