समाधान {l}{2x+8y=64}{7x+y=8}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 8 y = 64 } \\ { 7 x + y = 8 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=0$$

$$y=8$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$2x+8y=64,7x+y=8$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$2x+8y=64$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 8y घटाउनुहोस्।

$$2x=-8y+64$$

दुबैतिर 2 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{2}\left(-8y+64\right)$$

\frac{1}{2} लाई -8y+64 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-4y+32$$

-4y+32 लाई x ले अर्को समीकरण 7x+y=8 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$7\left(-4y+32\right)+y=8$$

7 लाई -4y+32 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-28y+224+y=8$$

y मा -28y जोड्नुहोस्

$$-27y+224=8$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 224 घटाउनुहोस्।

$$-27y=-216$$

दुबैतिर -27 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=8$$

x=-4y+32 मा y लाई 8 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=-4\times 8+32$$

-4 लाई 8 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-32+32$$

-32 मा 32 जोड्नुहोस्

$$x=0$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=0,y=8$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$2x+8y=64,7x+y=8$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}2&8\\7&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}64\\8\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}2&8\\7&1\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&8\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&8\\7&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&8\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}64\\8\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&8\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}64\\8\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&8\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}64\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-8\times 7}&-\frac{8}{2-8\times 7}\\-\frac{7}{2-8\times 7}&\frac{2}{2-8\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}64\\8\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{54}&\frac{4}{27}\\\frac{7}{54}&-\frac{1}{27}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}64\\8\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{54}\times 64+\frac{4}{27}\times 8\\\frac{7}{54}\times 64-\frac{1}{27}\times 8\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\8\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=0,y=8$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$2x+8y=64,7x+y=8$$

2x र 7x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 7 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 2 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$7\times 2x+7\times 8y=7\times 64,2\times 7x+2y=2\times 8$$

सरल गर्नुहोस्।

$$14x+56y=448,14x+2y=16$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 14x+56y=448 बाट 14x+2y=16 घटाउनुहोस्।

$$14x-14x+56y-2y=448-16$$

-14x मा 14x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 14x र -14x राशी रद्द हुन्छन्।

$$56y-2y=448-16$$

-2y मा 56y जोड्नुहोस्

$$54y=448-16$$

-16 मा 448 जोड्नुहोस्

$$54y=432$$

दुबैतिर 54 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=8$$

7x+y=8 मा y लाई 8 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$7x+8=8$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 8 घटाउनुहोस्।

$$7x=0$$

दुबैतिर 7 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=0$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=0,y=8$$