समाधान {l}{2x+5y=5}{3x-5y=1}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 5 y = 5 } \\ { 3 x - 5 y = 1 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x = \frac{6}{5} = 1\frac{1}{5} = 1.2$$

$$y=\frac{13}{25}=0.52$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$2x+5y=5,3x-5y=1$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$2x+5y=5$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 5y घटाउनुहोस्।

$$2x=-5y+5$$

दुबैतिर 2 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{2}\left(-5y+5\right)$$

\frac{1}{2} लाई -5y+5 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{5}{2}y+\frac{5}{2}$$

\frac{-5y+5}{2} लाई x ले अर्को समीकरण 3x-5y=1 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$3\left(-\frac{5}{2}y+\frac{5}{2}\right)-5y=1$$

3 लाई \frac{-5y+5}{2} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-\frac{15}{2}y+\frac{15}{2}-5y=1$$

-5y मा -\frac{15y}{2} जोड्नुहोस्

$$-\frac{25}{2}y+\frac{15}{2}=1$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{15}{2} घटाउनुहोस्।

$$-\frac{25}{2}y=-\frac{13}{2}$$

समीकरणको दुबैतिर -\frac{25}{2} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$y=\frac{13}{25}$$

x=-\frac{5}{2}y+\frac{5}{2} मा y लाई \frac{13}{25} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=-\frac{5}{2}\times \frac{13}{25}+\frac{5}{2}$$

अंश पटकले अंशलाई र हर पटकलाई हरले गुणन गरी -\frac{5}{2} लाई \frac{13}{25} पटक गुणन गर्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएसम्म न्यूनतम पदहरूमा भिन्नलाई झार्नुहोस्।

$$x=-\frac{13}{10}+\frac{5}{2}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{5}{2} लाई -\frac{13}{10} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x=\frac{6}{5}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{6}{5},y=\frac{13}{25}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$2x+5y=5,3x-5y=1$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}2&5\\3&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}2&5\\3&-5\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\3&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2\left(-5\right)-5\times 3}&-\frac{5}{2\left(-5\right)-5\times 3}\\-\frac{3}{2\left(-5\right)-5\times 3}&\frac{2}{2\left(-5\right)-5\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\\\frac{3}{25}&-\frac{2}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 5+\frac{1}{5}\\\frac{3}{25}\times 5-\frac{2}{25}\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{5}\\\frac{13}{25}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=\frac{6}{5},y=\frac{13}{25}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$2x+5y=5,3x-5y=1$$

2x र 3x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 3 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 2 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$3\times 2x+3\times 5y=3\times 5,2\times 3x+2\left(-5\right)y=2$$

सरल गर्नुहोस्।

$$6x+15y=15,6x-10y=2$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 6x+15y=15 बाट 6x-10y=2 घटाउनुहोस्।

$$6x-6x+15y+10y=15-2$$

-6x मा 6x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 6x र -6x राशी रद्द हुन्छन्।

$$15y+10y=15-2$$

10y मा 15y जोड्नुहोस्

$$25y=15-2$$

-2 मा 15 जोड्नुहोस्

$$25y=13$$

दुबैतिर 25 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=\frac{13}{25}$$

3x-5y=1 मा y लाई \frac{13}{25} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$3x-5\times \frac{13}{25}=1$$

-5 लाई \frac{13}{25} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$3x-\frac{13}{5}=1$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{13}{5} जोड्नुहोस्।

$$3x=\frac{18}{5}$$

दुबैतिर 3 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{6}{5}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{6}{5},y=\frac{13}{25}$$