समाधान {l}{2x+5y=259}{199x-2y=1127}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 5 y = 259 } \\ { 199 x - 2 y = 1127 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x = \frac{2051}{333} = 6\frac{53}{333} \approx 6.159159159$$

$$y = \frac{16429}{333} = 49\frac{112}{333} \approx 49.336336336$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$2x+5y=259,199x-2y=1127$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$2x+5y=259$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 5y घटाउनुहोस्।

$$2x=-5y+259$$

दुबैतिर 2 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{2}\left(-5y+259\right)$$

\frac{1}{2} लाई -5y+259 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{5}{2}y+\frac{259}{2}$$

\frac{-5y+259}{2} लाई x ले अर्को समीकरण 199x-2y=1127 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$199\left(-\frac{5}{2}y+\frac{259}{2}\right)-2y=1127$$

199 लाई \frac{-5y+259}{2} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-\frac{995}{2}y+\frac{51541}{2}-2y=1127$$

-2y मा -\frac{995y}{2} जोड्नुहोस्

$$-\frac{999}{2}y+\frac{51541}{2}=1127$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{51541}{2} घटाउनुहोस्।

$$-\frac{999}{2}y=-\frac{49287}{2}$$

समीकरणको दुबैतिर -\frac{999}{2} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$y=\frac{16429}{333}$$

x=-\frac{5}{2}y+\frac{259}{2} मा y लाई \frac{16429}{333} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=-\frac{5}{2}\times \frac{16429}{333}+\frac{259}{2}$$

अंश पटकले अंशलाई र हर पटकलाई हरले गुणन गरी -\frac{5}{2} लाई \frac{16429}{333} पटक गुणन गर्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएसम्म न्यूनतम पदहरूमा भिन्नलाई झार्नुहोस्।

$$x=-\frac{82145}{666}+\frac{259}{2}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{259}{2} लाई -\frac{82145}{666} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x=\frac{2051}{333}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{2051}{333},y=\frac{16429}{333}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$2x+5y=259,199x-2y=1127$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-5\times 199}&-\frac{5}{2\left(-2\right)-5\times 199}\\-\frac{199}{2\left(-2\right)-5\times 199}&\frac{2}{2\left(-2\right)-5\times 199}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{999}&\frac{5}{999}\\\frac{199}{999}&-\frac{2}{999}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{999}\times 259+\frac{5}{999}\times 1127\\\frac{199}{999}\times 259-\frac{2}{999}\times 1127\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2051}{333}\\\frac{16429}{333}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=\frac{2051}{333},y=\frac{16429}{333}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$2x+5y=259,199x-2y=1127$$

2x र 199x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 199 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 2 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$199\times 2x+199\times 5y=199\times 259,2\times 199x+2\left(-2\right)y=2\times 1127$$

सरल गर्नुहोस्।

$$398x+995y=51541,398x-4y=2254$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 398x+995y=51541 बाट 398x-4y=2254 घटाउनुहोस्।

$$398x-398x+995y+4y=51541-2254$$

-398x मा 398x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 398x र -398x राशी रद्द हुन्छन्।

$$995y+4y=51541-2254$$

4y मा 995y जोड्नुहोस्

$$999y=51541-2254$$

-2254 मा 51541 जोड्नुहोस्

$$999y=49287$$

दुबैतिर 999 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=\frac{16429}{333}$$

199x-2y=1127 मा y लाई \frac{16429}{333} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$199x-2\times \frac{16429}{333}=1127$$

-2 लाई \frac{16429}{333} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$199x-\frac{32858}{333}=1127$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{32858}{333} जोड्नुहोस्।

$$199x=\frac{408149}{333}$$

दुबैतिर 199 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{2051}{333}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{2051}{333},y=\frac{16429}{333}$$