समाधान {l}{2x+5y=130}{4x+3y=218}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 5 y = 130 } \\ { 4 x + 3 y = 218 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=50$$

$$y=6$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$2x+5y=130,4x+3y=218$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$2x+5y=130$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 5y घटाउनुहोस्।

$$2x=-5y+130$$

दुबैतिर 2 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{2}\left(-5y+130\right)$$

\frac{1}{2} लाई -5y+130 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{5}{2}y+65$$

-\frac{5y}{2}+65 लाई x ले अर्को समीकरण 4x+3y=218 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$4\left(-\frac{5}{2}y+65\right)+3y=218$$

4 लाई -\frac{5y}{2}+65 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-10y+260+3y=218$$

3y मा -10y जोड्नुहोस्

$$-7y+260=218$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 260 घटाउनुहोस्।

$$-7y=-42$$

दुबैतिर -7 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=6$$

x=-\frac{5}{2}y+65 मा y लाई 6 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=-\frac{5}{2}\times 6+65$$

-\frac{5}{2} लाई 6 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-15+65$$

-15 मा 65 जोड्नुहोस्

$$x=50$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=50,y=6$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$2x+5y=130,4x+3y=218$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}2&5\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}130\\218\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}2&5\\4&3\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}130\\218\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}130\\218\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}130\\218\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-5\times 4}&-\frac{5}{2\times 3-5\times 4}\\-\frac{4}{2\times 3-5\times 4}&\frac{2}{2\times 3-5\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}130\\218\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{14}&\frac{5}{14}\\\frac{2}{7}&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}130\\218\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{14}\times 130+\frac{5}{14}\times 218\\\frac{2}{7}\times 130-\frac{1}{7}\times 218\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}50\\6\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=50,y=6$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$2x+5y=130,4x+3y=218$$

2x र 4x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 4 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 2 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$4\times 2x+4\times 5y=4\times 130,2\times 4x+2\times 3y=2\times 218$$

सरल गर्नुहोस्।

$$8x+20y=520,8x+6y=436$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 8x+20y=520 बाट 8x+6y=436 घटाउनुहोस्।

$$8x-8x+20y-6y=520-436$$

-8x मा 8x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 8x र -8x राशी रद्द हुन्छन्।

$$20y-6y=520-436$$

-6y मा 20y जोड्नुहोस्

$$14y=520-436$$

-436 मा 520 जोड्नुहोस्

$$14y=84$$

दुबैतिर 14 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=6$$

4x+3y=218 मा y लाई 6 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$4x+3\times 6=218$$

3 लाई 6 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$4x+18=218$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 18 घटाउनुहोस्।

$$4x=200$$

दुबैतिर 4 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=50$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=50,y=6$$