समाधान {l}{2x+4y=10}{x-y=7}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 4 y = 10 } \\ { x - y = 7 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x = \frac{19}{3} = 6\frac{1}{3} \approx 6.333333333$$

$$y=-\frac{2}{3}\approx -0.666666667$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$2x+4y=10,x-y=7$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$2x+4y=10$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 4y घटाउनुहोस्।

$$2x=-4y+10$$

दुबैतिर 2 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{2}\left(-4y+10\right)$$

\frac{1}{2} लाई -4y+10 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-2y+5$$

-2y+5 लाई x ले अर्को समीकरण x-y=7 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$-2y+5-y=7$$

-y मा -2y जोड्नुहोस्

$$-3y+5=7$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 5 घटाउनुहोस्।

$$-3y=2$$

दुबैतिर -3 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=-\frac{2}{3}$$

x=-2y+5 मा y लाई -\frac{2}{3} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=-2\left(-\frac{2}{3}\right)+5$$

-2 लाई -\frac{2}{3} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{4}{3}+5$$

\frac{4}{3} मा 5 जोड्नुहोस्

$$x=\frac{19}{3}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{19}{3},y=-\frac{2}{3}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$2x+4y=10,x-y=7$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}2&4\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\7\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}2&4\\1&-1\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&4\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\7\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\7\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-4}&-\frac{4}{2\left(-1\right)-4}\\-\frac{1}{2\left(-1\right)-4}&\frac{2}{2\left(-1\right)-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\7\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&\frac{2}{3}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\7\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\times 10+\frac{2}{3}\times 7\\\frac{1}{6}\times 10-\frac{1}{3}\times 7\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19}{3}\\-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=\frac{19}{3},y=-\frac{2}{3}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$2x+4y=10,x-y=7$$

2x र x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 1 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 2 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$2x+4y=10,2x+2\left(-1\right)y=2\times 7$$

सरल गर्नुहोस्।

$$2x+4y=10,2x-2y=14$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 2x+4y=10 बाट 2x-2y=14 घटाउनुहोस्।

$$2x-2x+4y+2y=10-14$$

-2x मा 2x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 2x र -2x राशी रद्द हुन्छन्।

$$4y+2y=10-14$$

2y मा 4y जोड्नुहोस्

$$6y=10-14$$

-14 मा 10 जोड्नुहोस्

$$6y=-4$$

दुबैतिर 6 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=-\frac{2}{3}$$

x-y=7 मा y लाई -\frac{2}{3} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x-\left(-\frac{2}{3}\right)=7$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{2}{3} घटाउनुहोस्।

$$x=\frac{19}{3}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{19}{3},y=-\frac{2}{3}$$