समाधान {l}{2n-3m=1}{m+n=3}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 n - 3 m = 1 } \\ { m + n = 3 } \end{array} \right.$$

n, m को लागि हल गर्नुहोस्

$$n=2$$

$$m=1$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$2n-3m=1,n+m=3$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको n लाई अलग गरी n का लागि हल गर्नुहोस्।

$$2n-3m=1$$

समीकरणको दुबैतिर 3m जोड्नुहोस्।

$$2n=3m+1$$

दुबैतिर 2 ले भाग गर्नुहोस्।

$$n=\frac{1}{2}\left(3m+1\right)$$

\frac{1}{2} लाई 3m+1 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$n=\frac{3}{2}m+\frac{1}{2}$$

\frac{3m+1}{2} लाई n ले अर्को समीकरण n+m=3 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$\frac{3}{2}m+\frac{1}{2}+m=3$$

m मा \frac{3m}{2} जोड्नुहोस्

$$\frac{5}{2}m+\frac{1}{2}=3$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{1}{2} घटाउनुहोस्।

$$\frac{5}{2}m=\frac{5}{2}$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{5}{2} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$m=1$$

n=\frac{3}{2}m+\frac{1}{2} मा m लाई 1 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले n लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$n=\frac{3+1}{2}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{1}{2} लाई \frac{3}{2} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$n=2$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$n=2,m=1$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$2n-3m=1,n+m=3$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}n\\m\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}n\\m\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}n\\m\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}n\\m\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}n\\m\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{2-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{2-\left(-3\right)}&\frac{2}{2-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}n\\m\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{3}{5}\\-\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}n\\m\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}+\frac{3}{5}\times 3\\-\frac{1}{5}+\frac{2}{5}\times 3\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}n\\m\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू n र m लाई ता्नुहोस्।

$$n=2,m=1$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$2n-3m=1,n+m=3$$

2n र n लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 1 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 2 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$2n-3m=1,2n+2m=2\times 3$$

सरल गर्नुहोस्।

$$2n-3m=1,2n+2m=6$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 2n-3m=1 बाट 2n+2m=6 घटाउनुहोस्।

$$2n-2n-3m-2m=1-6$$

-2n मा 2n जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 2n र -2n राशी रद्द हुन्छन्।

$$-3m-2m=1-6$$

-2m मा -3m जोड्नुहोस्

$$-5m=1-6$$

-6 मा 1 जोड्नुहोस्

$$-5m=-5$$

दुबैतिर -5 ले भाग गर्नुहोस्।

$$m=1$$

n+m=3 मा m लाई 1 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले n लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$n+1=3$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 1 घटाउनुहोस्।

$$n=2$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$n=2,m=1$$