समाधान {l}{2ax+by=14}{-bx+ay=-19}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 a x + b y = 14 } \\ { - b x + a y = - 19 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=\frac{14a+19b}{2a^{2}+b^{2}}$$

$$y=-\frac{2\left(19a-7b\right)}{2a^{2}+b^{2}}$$

$$b\neq 0\text{ or }a\neq 0$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$2ax+by=14,\left(-b\right)x+ay=-19$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$2ax+by=14$$

समीकरणको दुबैतिरबाट by घटाउनुहोस्।

$$2ax=\left(-b\right)y+14$$

दुबैतिर 2a ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{2a}\left(\left(-b\right)y+14\right)$$

\frac{1}{2a} लाई -by+14 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\left(-\frac{b}{2a}\right)y+\frac{7}{a}$$

\frac{-by+14}{2a} लाई x ले अर्को समीकरण \left(-b\right)x+ay=-19 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$\left(-b\right)\left(\left(-\frac{b}{2a}\right)y+\frac{7}{a}\right)+ay=-19$$

-b लाई \frac{-by+14}{2a} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$\frac{b^{2}}{2a}y-\frac{7b}{a}+ay=-19$$

ay मा \frac{b^{2}y}{2a} जोड्नुहोस्

$$\left(\frac{b^{2}}{2a}+a\right)y-\frac{7b}{a}=-19$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{7b}{a} जोड्नुहोस्।

$$\left(\frac{b^{2}}{2a}+a\right)y=\frac{7b}{a}-19$$

दुबैतिर a+\frac{b^{2}}{2a} ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=\frac{2\left(7b-19a\right)}{2a^{2}+b^{2}}$$

x=\left(-\frac{b}{2a}\right)y+\frac{7}{a} मा y लाई \frac{2\left(7b-19a\right)}{2a^{2}+b^{2}} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=\left(-\frac{b}{2a}\right)\times \frac{2\left(7b-19a\right)}{2a^{2}+b^{2}}+\frac{7}{a}$$

-\frac{b}{2a} लाई \frac{2\left(7b-19a\right)}{2a^{2}+b^{2}} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{b\left(7b-19a\right)}{a\left(2a^{2}+b^{2}\right)}+\frac{7}{a}$$

-\frac{b\left(7b-19a\right)}{a\left(2a^{2}+b^{2}\right)} मा \frac{7}{a} जोड्नुहोस्

$$x=\frac{14a+19b}{2a^{2}+b^{2}}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{14a+19b}{2a^{2}+b^{2}},y=\frac{2\left(7b-19a\right)}{2a^{2}+b^{2}}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$2ax+by=14,\left(-b\right)x+ay=-19$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}2a&b\\-b&a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}2a&b\\-b&a\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-b&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2a&b\\-b&a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-b&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-b&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-b&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{2aa-b\left(-b\right)}&-\frac{b}{2aa-b\left(-b\right)}\\-\frac{-b}{2aa-b\left(-b\right)}&\frac{2a}{2aa-b\left(-b\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{2a^{2}+b^{2}}&-\frac{b}{2a^{2}+b^{2}}\\\frac{b}{2a^{2}+b^{2}}&\frac{2a}{2a^{2}+b^{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{2a^{2}+b^{2}}\times 14+\left(-\frac{b}{2a^{2}+b^{2}}\right)\left(-19\right)\\\frac{b}{2a^{2}+b^{2}}\times 14+\frac{2a}{2a^{2}+b^{2}}\left(-19\right)\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{14a+19b}{2a^{2}+b^{2}}\\\frac{2\left(7b-19a\right)}{2a^{2}+b^{2}}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=\frac{14a+19b}{2a^{2}+b^{2}},y=\frac{2\left(7b-19a\right)}{2a^{2}+b^{2}}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$2ax+by=14,\left(-b\right)x+ay=-19$$

2ax र -bx लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई -b ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 2a ले गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(-b\right)\times 2ax+\left(-b\right)by=\left(-b\right)\times 14,2a\left(-b\right)x+2aay=2a\left(-19\right)$$

सरल गर्नुहोस्।

$$\left(-2ab\right)x+\left(-b^{2}\right)y=-14b,\left(-2ab\right)x+2a^{2}y=-38a$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर \left(-2ab\right)x+\left(-b^{2}\right)y=-14b बाट \left(-2ab\right)x+2a^{2}y=-38a घटाउनुहोस्।

$$\left(-2ab\right)x+2abx+\left(-b^{2}\right)y+\left(-2a^{2}\right)y=-14b+38a$$

2bax मा -2bax जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै -2bax र 2bax राशी रद्द हुन्छन्।

$$\left(-b^{2}\right)y+\left(-2a^{2}\right)y=-14b+38a$$

-2a^{2}y मा -b^{2}y जोड्नुहोस्

$$\left(-2a^{2}-b^{2}\right)y=-14b+38a$$

38a मा -14b जोड्नुहोस्

$$\left(-2a^{2}-b^{2}\right)y=38a-14b$$

दुबैतिर -b^{2}-2a^{2} ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=-\frac{2\left(19a-7b\right)}{2a^{2}+b^{2}}$$

\left(-b\right)x+ay=-19 मा y लाई -\frac{2\left(-7b+19a\right)}{b^{2}+2a^{2}} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$\left(-b\right)x+a\left(-\frac{2\left(19a-7b\right)}{2a^{2}+b^{2}}\right)=-19$$

a लाई -\frac{2\left(-7b+19a\right)}{b^{2}+2a^{2}} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(-b\right)x-\frac{2a\left(19a-7b\right)}{2a^{2}+b^{2}}=-19$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{2a\left(-7b+19a\right)}{b^{2}+2a^{2}} जोड्नुहोस्।

$$\left(-b\right)x=-\frac{b\left(14a+19b\right)}{2a^{2}+b^{2}}$$

दुबैतिर -b ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{14a+19b}{2a^{2}+b^{2}}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{14a+19b}{2a^{2}+b^{2}},y=-\frac{2\left(19a-7b\right)}{2a^{2}+b^{2}}$$