समाधान {l}{18x+15y=12}{30x-15y=-100}

$$\left. \begin{array} { l } { 18 x + 15 y = 12 } \\ { 30 x - 15 y = - 100 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x = -\frac{11}{6} = -1\frac{5}{6} \approx -1.833333333$$

$$y=3$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$18x+15y=12,30x-15y=-100$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$18x+15y=12$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 15y घटाउनुहोस्।

$$18x=-15y+12$$

दुबैतिर 18 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{18}\left(-15y+12\right)$$

\frac{1}{18} लाई -15y+12 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{5}{6}y+\frac{2}{3}$$

-\frac{5y}{6}+\frac{2}{3} लाई x ले अर्को समीकरण 30x-15y=-100 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$30\left(-\frac{5}{6}y+\frac{2}{3}\right)-15y=-100$$

30 लाई -\frac{5y}{6}+\frac{2}{3} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-25y+20-15y=-100$$

-15y मा -25y जोड्नुहोस्

$$-40y+20=-100$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 20 घटाउनुहोस्।

$$-40y=-120$$

दुबैतिर -40 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=3$$

x=-\frac{5}{6}y+\frac{2}{3} मा y लाई 3 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=-\frac{5}{6}\times 3+\frac{2}{3}$$

-\frac{5}{6} लाई 3 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{5}{2}+\frac{2}{3}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{2}{3} लाई -\frac{5}{2} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x=-\frac{11}{6}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=-\frac{11}{6},y=3$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$18x+15y=12,30x-15y=-100$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}18&15\\30&-15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\-100\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}18&15\\30&-15\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}18&15\\30&-15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18&15\\30&-15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}18&15\\30&-15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-100\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}18&15\\30&-15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-100\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}18&15\\30&-15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-100\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{15}{18\left(-15\right)-15\times 30}&-\frac{15}{18\left(-15\right)-15\times 30}\\-\frac{30}{18\left(-15\right)-15\times 30}&\frac{18}{18\left(-15\right)-15\times 30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\-100\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{48}&\frac{1}{48}\\\frac{1}{24}&-\frac{1}{40}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\-100\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{48}\times 12+\frac{1}{48}\left(-100\right)\\\frac{1}{24}\times 12-\frac{1}{40}\left(-100\right)\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{6}\\3\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=-\frac{11}{6},y=3$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$18x+15y=12,30x-15y=-100$$

18x र 30x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 30 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 18 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$30\times 18x+30\times 15y=30\times 12,18\times 30x+18\left(-15\right)y=18\left(-100\right)$$

सरल गर्नुहोस्।

$$540x+450y=360,540x-270y=-1800$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 540x+450y=360 बाट 540x-270y=-1800 घटाउनुहोस्।

$$540x-540x+450y+270y=360+1800$$

-540x मा 540x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 540x र -540x राशी रद्द हुन्छन्।

$$450y+270y=360+1800$$

270y मा 450y जोड्नुहोस्

$$720y=360+1800$$

1800 मा 360 जोड्नुहोस्

$$720y=2160$$

दुबैतिर 720 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=3$$

30x-15y=-100 मा y लाई 3 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$30x-15\times 3=-100$$

-15 लाई 3 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$30x-45=-100$$

समीकरणको दुबैतिर 45 जोड्नुहोस्।

$$30x=-55$$

दुबैतिर 30 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{11}{6}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=-\frac{11}{6},y=3$$