समाधान {l}{18=1200x+1600y}{17=600x+2400y}

$$\left. \begin{array} { l } { 18 = 1200 x + 1600 y } \\ { 17 = 600 x + 2400 y } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=\frac{1}{120}\approx 0.008333333$$

$$y=\frac{1}{200}=0.005$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। साइडहरू बदल्नुहोस् जसले गर्दा सबै चर पदहरू बायाँ साइडमा आउनेछन्।

$$1200x+1600y=18$$

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। साइडहरू बदल्नुहोस् जसले गर्दा सबै चर पदहरू बायाँ साइडमा आउनेछन्।

$$600x+2400y=17$$

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$1200x+1600y=18,600x+2400y=17$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$1200x+1600y=18$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 1600y घटाउनुहोस्।

$$1200x=-1600y+18$$

दुबैतिर 1200 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{1200}\left(-1600y+18\right)$$

\frac{1}{1200} लाई -1600y+18 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{4}{3}y+\frac{3}{200}$$

-\frac{4y}{3}+\frac{3}{200} लाई x ले अर्को समीकरण 600x+2400y=17 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$600\left(-\frac{4}{3}y+\frac{3}{200}\right)+2400y=17$$

600 लाई -\frac{4y}{3}+\frac{3}{200} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-800y+9+2400y=17$$

2400y मा -800y जोड्नुहोस्

$$1600y+9=17$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 9 घटाउनुहोस्।

$$1600y=8$$

दुबैतिर 1600 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=\frac{1}{200}$$

x=-\frac{4}{3}y+\frac{3}{200} मा y लाई \frac{1}{200} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=-\frac{4}{3}\times \frac{1}{200}+\frac{3}{200}$$

अंश पटकले अंशलाई र हर पटकलाई हरले गुणन गरी -\frac{4}{3} लाई \frac{1}{200} पटक गुणन गर्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएसम्म न्यूनतम पदहरूमा भिन्नलाई झार्नुहोस्।

$$x=-\frac{1}{150}+\frac{3}{200}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{3}{200} लाई -\frac{1}{150} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{120}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{1}{120},y=\frac{1}{200}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। साइडहरू बदल्नुहोस् जसले गर्दा सबै चर पदहरू बायाँ साइडमा आउनेछन्।

$$1200x+1600y=18$$

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। साइडहरू बदल्नुहोस् जसले गर्दा सबै चर पदहरू बायाँ साइडमा आउनेछन्।

$$600x+2400y=17$$

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$1200x+1600y=18,600x+2400y=17$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}1200&1600\\600&2400\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}18\\17\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}1200&1600\\600&2400\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}1200&1600\\600&2400\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1200&1600\\600&2400\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1200&1600\\600&2400\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\17\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1200&1600\\600&2400\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\17\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1200&1600\\600&2400\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\17\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2400}{1200\times 2400-1600\times 600}&-\frac{1600}{1200\times 2400-1600\times 600}\\-\frac{600}{1200\times 2400-1600\times 600}&\frac{1200}{1200\times 2400-1600\times 600}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\17\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{800}&-\frac{1}{1200}\\-\frac{1}{3200}&\frac{1}{1600}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\17\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{800}\times 18-\frac{1}{1200}\times 17\\-\frac{1}{3200}\times 18+\frac{1}{1600}\times 17\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{120}\\\frac{1}{200}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{120},y=\frac{1}{200}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। साइडहरू बदल्नुहोस् जसले गर्दा सबै चर पदहरू बायाँ साइडमा आउनेछन्।

$$1200x+1600y=18$$

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। साइडहरू बदल्नुहोस् जसले गर्दा सबै चर पदहरू बायाँ साइडमा आउनेछन्।

$$600x+2400y=17$$

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$1200x+1600y=18,600x+2400y=17$$

1200x र 600x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 600 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 1200 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$600\times 1200x+600\times 1600y=600\times 18,1200\times 600x+1200\times 2400y=1200\times 17$$

सरल गर्नुहोस्।

$$720000x+960000y=10800,720000x+2880000y=20400$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 720000x+960000y=10800 बाट 720000x+2880000y=20400 घटाउनुहोस्।

$$720000x-720000x+960000y-2880000y=10800-20400$$

-720000x मा 720000x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 720000x र -720000x राशी रद्द हुन्छन्।

$$960000y-2880000y=10800-20400$$

-2880000y मा 960000y जोड्नुहोस्

$$-1920000y=10800-20400$$

-20400 मा 10800 जोड्नुहोस्

$$-1920000y=-9600$$

दुबैतिर -1920000 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=\frac{1}{200}$$

600x+2400y=17 मा y लाई \frac{1}{200} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$600x+2400\times \frac{1}{200}=17$$

2400 लाई \frac{1}{200} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$600x+12=17$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 12 घटाउनुहोस्।

$$600x=5$$

दुबैतिर 600 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{120}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{1}{120},y=\frac{1}{200}$$