समाधान {l}{17x+23y=40}{23x+17y=50}

$$\left. \begin{array} { l } { 17 x + 23 y = 40 } \\ { 23 x + 17 y = 50 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x = \frac{47}{24} = 1\frac{23}{24} \approx 1.958333333$$

$$y=\frac{7}{24}\approx 0.291666667$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$17x+23y=40,23x+17y=50$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$17x+23y=40$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 23y घटाउनुहोस्।

$$17x=-23y+40$$

दुबैतिर 17 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{17}\left(-23y+40\right)$$

\frac{1}{17} लाई -23y+40 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{23}{17}y+\frac{40}{17}$$

\frac{-23y+40}{17} लाई x ले अर्को समीकरण 23x+17y=50 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$23\left(-\frac{23}{17}y+\frac{40}{17}\right)+17y=50$$

23 लाई \frac{-23y+40}{17} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-\frac{529}{17}y+\frac{920}{17}+17y=50$$

17y मा -\frac{529y}{17} जोड्नुहोस्

$$-\frac{240}{17}y+\frac{920}{17}=50$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{920}{17} घटाउनुहोस्।

$$-\frac{240}{17}y=-\frac{70}{17}$$

समीकरणको दुबैतिर -\frac{240}{17} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$y=\frac{7}{24}$$

x=-\frac{23}{17}y+\frac{40}{17} मा y लाई \frac{7}{24} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=-\frac{23}{17}\times \frac{7}{24}+\frac{40}{17}$$

अंश पटकले अंशलाई र हर पटकलाई हरले गुणन गरी -\frac{23}{17} लाई \frac{7}{24} पटक गुणन गर्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएसम्म न्यूनतम पदहरूमा भिन्नलाई झार्नुहोस्।

$$x=-\frac{161}{408}+\frac{40}{17}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{40}{17} लाई -\frac{161}{408} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x=\frac{47}{24}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{47}{24},y=\frac{7}{24}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$17x+23y=40,23x+17y=50$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}17&23\\23&17\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}40\\50\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}17&23\\23&17\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}17&23\\23&17\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17&23\\23&17\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}17&23\\23&17\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\50\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}17&23\\23&17\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\50\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}17&23\\23&17\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\50\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{17}{17\times 17-23\times 23}&-\frac{23}{17\times 17-23\times 23}\\-\frac{23}{17\times 17-23\times 23}&\frac{17}{17\times 17-23\times 23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}40\\50\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{17}{240}&\frac{23}{240}\\\frac{23}{240}&-\frac{17}{240}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}40\\50\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{17}{240}\times 40+\frac{23}{240}\times 50\\\frac{23}{240}\times 40-\frac{17}{240}\times 50\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{47}{24}\\\frac{7}{24}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=\frac{47}{24},y=\frac{7}{24}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$17x+23y=40,23x+17y=50$$

17x र 23x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 23 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 17 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$23\times 17x+23\times 23y=23\times 40,17\times 23x+17\times 17y=17\times 50$$

सरल गर्नुहोस्।

$$391x+529y=920,391x+289y=850$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 391x+529y=920 बाट 391x+289y=850 घटाउनुहोस्।

$$391x-391x+529y-289y=920-850$$

-391x मा 391x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 391x र -391x राशी रद्द हुन्छन्।

$$529y-289y=920-850$$

-289y मा 529y जोड्नुहोस्

$$240y=920-850$$

-850 मा 920 जोड्नुहोस्

$$240y=70$$

दुबैतिर 240 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=\frac{7}{24}$$

23x+17y=50 मा y लाई \frac{7}{24} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$23x+17\times \frac{7}{24}=50$$

17 लाई \frac{7}{24} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$23x+\frac{119}{24}=50$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{119}{24} घटाउनुहोस्।

$$23x=\frac{1081}{24}$$

दुबैतिर 23 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{47}{24}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{47}{24},y=\frac{7}{24}$$