समाधान {l}{16x+2y=340}{2x+2y=180}

$$\left. \begin{array} { l } { 16 x + 2 y = 340 } \\ { 2 x + 2 y = 180 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x = \frac{80}{7} = 11\frac{3}{7} \approx 11.428571429$$

$$y = \frac{550}{7} = 78\frac{4}{7} \approx 78.571428571$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$16x+2y=340,2x+2y=180$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$16x+2y=340$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 2y घटाउनुहोस्।

$$16x=-2y+340$$

दुबैतिर 16 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{16}\left(-2y+340\right)$$

\frac{1}{16} लाई -2y+340 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{1}{8}y+\frac{85}{4}$$

-\frac{y}{8}+\frac{85}{4} लाई x ले अर्को समीकरण 2x+2y=180 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$2\left(-\frac{1}{8}y+\frac{85}{4}\right)+2y=180$$

2 लाई -\frac{y}{8}+\frac{85}{4} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-\frac{1}{4}y+\frac{85}{2}+2y=180$$

2y मा -\frac{y}{4} जोड्नुहोस्

$$\frac{7}{4}y+\frac{85}{2}=180$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{85}{2} घटाउनुहोस्।

$$\frac{7}{4}y=\frac{275}{2}$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{7}{4} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$y=\frac{550}{7}$$

x=-\frac{1}{8}y+\frac{85}{4} मा y लाई \frac{550}{7} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=-\frac{1}{8}\times \frac{550}{7}+\frac{85}{4}$$

अंश पटकले अंशलाई र हर पटकलाई हरले गुणन गरी -\frac{1}{8} लाई \frac{550}{7} पटक गुणन गर्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएसम्म न्यूनतम पदहरूमा भिन्नलाई झार्नुहोस्।

$$x=-\frac{275}{28}+\frac{85}{4}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{85}{4} लाई -\frac{275}{28} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x=\frac{80}{7}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{80}{7},y=\frac{550}{7}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$16x+2y=340,2x+2y=180$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}16&2\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}340\\180\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}16&2\\2&2\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}16&2\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16&2\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&2\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}340\\180\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&2\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}340\\180\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&2\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}340\\180\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{16\times 2-2\times 2}&-\frac{2}{16\times 2-2\times 2}\\-\frac{2}{16\times 2-2\times 2}&\frac{16}{16\times 2-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}340\\180\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}&-\frac{1}{14}\\-\frac{1}{14}&\frac{4}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}340\\180\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}\times 340-\frac{1}{14}\times 180\\-\frac{1}{14}\times 340+\frac{4}{7}\times 180\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{80}{7}\\\frac{550}{7}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=\frac{80}{7},y=\frac{550}{7}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$16x+2y=340,2x+2y=180$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 16x+2y=340 बाट 2x+2y=180 घटाउनुहोस्।

$$16x-2x+2y-2y=340-180$$

-2y मा 2y जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 2y र -2y राशी रद्द हुन्छन्।

$$16x-2x=340-180$$

-2x मा 16x जोड्नुहोस्

$$14x=340-180$$

-180 मा 340 जोड्नुहोस्

$$14x=160$$

दुबैतिर 14 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{80}{7}$$

2x+2y=180 मा x लाई \frac{80}{7} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले y लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$2\times \frac{80}{7}+2y=180$$

2 लाई \frac{80}{7} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$\frac{160}{7}+2y=180$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{160}{7} घटाउनुहोस्।

$$2y=\frac{1100}{7}$$

दुबैतिर 2 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=\frac{550}{7}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{80}{7},y=\frac{550}{7}$$