समाधान {l}{12x+4y=6}{9x+16y=8}

$$\left. \begin{array} { l } { 12 x + 4 y = 6 } \\ { 9 x + 16 y = 8 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=\frac{16}{39}\approx 0.41025641$$

$$y=\frac{7}{26}\approx 0.269230769$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$12x+4y=6,9x+16y=8$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$12x+4y=6$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 4y घटाउनुहोस्।

$$12x=-4y+6$$

दुबैतिर 12 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{12}\left(-4y+6\right)$$

\frac{1}{12} लाई -4y+6 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{1}{2}$$

-\frac{y}{3}+\frac{1}{2} लाई x ले अर्को समीकरण 9x+16y=8 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$9\left(-\frac{1}{3}y+\frac{1}{2}\right)+16y=8$$

9 लाई -\frac{y}{3}+\frac{1}{2} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-3y+\frac{9}{2}+16y=8$$

16y मा -3y जोड्नुहोस्

$$13y+\frac{9}{2}=8$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{9}{2} घटाउनुहोस्।

$$13y=\frac{7}{2}$$

दुबैतिर 13 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=\frac{7}{26}$$

x=-\frac{1}{3}y+\frac{1}{2} मा y लाई \frac{7}{26} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=-\frac{1}{3}\times \frac{7}{26}+\frac{1}{2}$$

अंश पटकले अंशलाई र हर पटकलाई हरले गुणन गरी -\frac{1}{3} लाई \frac{7}{26} पटक गुणन गर्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएसम्म न्यूनतम पदहरूमा भिन्नलाई झार्नुहोस्।

$$x=-\frac{7}{78}+\frac{1}{2}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{1}{2} लाई -\frac{7}{78} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x=\frac{16}{39}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{16}{39},y=\frac{7}{26}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$12x+4y=6,9x+16y=8$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{12\times 16-4\times 9}&-\frac{4}{12\times 16-4\times 9}\\-\frac{9}{12\times 16-4\times 9}&\frac{12}{12\times 16-4\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{39}&-\frac{1}{39}\\-\frac{3}{52}&\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{39}\times 6-\frac{1}{39}\times 8\\-\frac{3}{52}\times 6+\frac{1}{13}\times 8\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{39}\\\frac{7}{26}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=\frac{16}{39},y=\frac{7}{26}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$12x+4y=6,9x+16y=8$$

12x र 9x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 9 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 12 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$9\times 12x+9\times 4y=9\times 6,12\times 9x+12\times 16y=12\times 8$$

सरल गर्नुहोस्।

$$108x+36y=54,108x+192y=96$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 108x+36y=54 बाट 108x+192y=96 घटाउनुहोस्।

$$108x-108x+36y-192y=54-96$$

-108x मा 108x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 108x र -108x राशी रद्द हुन्छन्।

$$36y-192y=54-96$$

-192y मा 36y जोड्नुहोस्

$$-156y=54-96$$

-96 मा 54 जोड्नुहोस्

$$-156y=-42$$

दुबैतिर -156 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=\frac{7}{26}$$

9x+16y=8 मा y लाई \frac{7}{26} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$9x+16\times \frac{7}{26}=8$$

16 लाई \frac{7}{26} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$9x+\frac{56}{13}=8$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{56}{13} घटाउनुहोस्।

$$9x=\frac{48}{13}$$

दुबैतिर 9 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{16}{39}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{16}{39},y=\frac{7}{26}$$