समाधान {l}{12x+3y=5}{3x+2y=70}

$$\left. \begin{array} { l } { 12 x + 3 y = 5 } \\ { 3 x + 2 y = 70 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x = -\frac{40}{3} = -13\frac{1}{3} \approx -13.333333333$$

$$y=55$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$12x+3y=5,3x+2y=70$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$12x+3y=5$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 3y घटाउनुहोस्।

$$12x=-3y+5$$

दुबैतिर 12 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{12}\left(-3y+5\right)$$

\frac{1}{12} लाई -3y+5 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{1}{4}y+\frac{5}{12}$$

-\frac{y}{4}+\frac{5}{12} लाई x ले अर्को समीकरण 3x+2y=70 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$3\left(-\frac{1}{4}y+\frac{5}{12}\right)+2y=70$$

3 लाई -\frac{y}{4}+\frac{5}{12} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-\frac{3}{4}y+\frac{5}{4}+2y=70$$

2y मा -\frac{3y}{4} जोड्नुहोस्

$$\frac{5}{4}y+\frac{5}{4}=70$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{5}{4} घटाउनुहोस्।

$$\frac{5}{4}y=\frac{275}{4}$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{5}{4} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$y=55$$

x=-\frac{1}{4}y+\frac{5}{12} मा y लाई 55 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=-\frac{1}{4}\times 55+\frac{5}{12}$$

-\frac{1}{4} लाई 55 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{55}{4}+\frac{5}{12}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{5}{12} लाई -\frac{55}{4} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x=-\frac{40}{3}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=-\frac{40}{3},y=55$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$12x+3y=5,3x+2y=70$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}12&3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}12&3\\3&2\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}12&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12&3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{12\times 2-3\times 3}&-\frac{3}{12\times 2-3\times 3}\\-\frac{3}{12\times 2-3\times 3}&\frac{12}{12\times 2-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{15}&-\frac{1}{5}\\-\frac{1}{5}&\frac{4}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{15}\times 5-\frac{1}{5}\times 70\\-\frac{1}{5}\times 5+\frac{4}{5}\times 70\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{40}{3}\\55\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=-\frac{40}{3},y=55$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$12x+3y=5,3x+2y=70$$

12x र 3x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 3 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 12 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$3\times 12x+3\times 3y=3\times 5,12\times 3x+12\times 2y=12\times 70$$

सरल गर्नुहोस्।

$$36x+9y=15,36x+24y=840$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 36x+9y=15 बाट 36x+24y=840 घटाउनुहोस्।

$$36x-36x+9y-24y=15-840$$

-36x मा 36x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 36x र -36x राशी रद्द हुन्छन्।

$$9y-24y=15-840$$

-24y मा 9y जोड्नुहोस्

$$-15y=15-840$$

-840 मा 15 जोड्नुहोस्

$$-15y=-825$$

दुबैतिर -15 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=55$$

3x+2y=70 मा y लाई 55 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$3x+2\times 55=70$$

2 लाई 55 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$3x+110=70$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 110 घटाउनुहोस्।

$$3x=-40$$

दुबैतिर 3 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{40}{3}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=-\frac{40}{3},y=55$$