समाधान {l}{12a+4b=-4}{3a-9b=-21}

$$\left. \begin{array} { l } { 12 a + 4 b = - 4 } \\ { 3 a - 9 b = - 21 } \end{array} \right.$$

a, b को लागि हल गर्नुहोस्

$$a=-1$$

$$b=2$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$12a+4b=-4,3a-9b=-21$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको a लाई अलग गरी a का लागि हल गर्नुहोस्।

$$12a+4b=-4$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 4b घटाउनुहोस्।

$$12a=-4b-4$$

दुबैतिर 12 ले भाग गर्नुहोस्।

$$a=\frac{1}{12}\left(-4b-4\right)$$

\frac{1}{12} लाई -4b-4 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$a=-\frac{1}{3}b-\frac{1}{3}$$

\frac{-b-1}{3} लाई a ले अर्को समीकरण 3a-9b=-21 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$3\left(-\frac{1}{3}b-\frac{1}{3}\right)-9b=-21$$

3 लाई \frac{-b-1}{3} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-b-1-9b=-21$$

-9b मा -b जोड्नुहोस्

$$-10b-1=-21$$

समीकरणको दुबैतिर 1 जोड्नुहोस्।

$$-10b=-20$$

दुबैतिर -10 ले भाग गर्नुहोस्।

$$b=2$$

a=-\frac{1}{3}b-\frac{1}{3} मा b लाई 2 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले a लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$a=-\frac{1}{3}\times 2-\frac{1}{3}$$

-\frac{1}{3} लाई 2 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$a=\frac{-2-1}{3}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर -\frac{1}{3} लाई -\frac{2}{3} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$a=-1$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$a=-1,b=2$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$12a+4b=-4,3a-9b=-21$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}12&4\\3&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\-21\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}12&4\\3&-9\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\3&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12&4\\3&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\3&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-21\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\3&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-21\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\3&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-21\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{12\left(-9\right)-4\times 3}&-\frac{4}{12\left(-9\right)-4\times 3}\\-\frac{3}{12\left(-9\right)-4\times 3}&\frac{12}{12\left(-9\right)-4\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\-21\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{40}&\frac{1}{30}\\\frac{1}{40}&-\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\-21\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{40}\left(-4\right)+\frac{1}{30}\left(-21\right)\\\frac{1}{40}\left(-4\right)-\frac{1}{10}\left(-21\right)\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\2\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू a र b लाई ता्नुहोस्।

$$a=-1,b=2$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$12a+4b=-4,3a-9b=-21$$

12a र 3a लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 3 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 12 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$3\times 12a+3\times 4b=3\left(-4\right),12\times 3a+12\left(-9\right)b=12\left(-21\right)$$

सरल गर्नुहोस्।

$$36a+12b=-12,36a-108b=-252$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 36a+12b=-12 बाट 36a-108b=-252 घटाउनुहोस्।

$$36a-36a+12b+108b=-12+252$$

-36a मा 36a जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 36a र -36a राशी रद्द हुन्छन्।

$$12b+108b=-12+252$$

108b मा 12b जोड्नुहोस्

$$120b=-12+252$$

252 मा -12 जोड्नुहोस्

$$120b=240$$

दुबैतिर 120 ले भाग गर्नुहोस्।

$$b=2$$

3a-9b=-21 मा b लाई 2 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले a लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$3a-9\times 2=-21$$

-9 लाई 2 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$3a-18=-21$$

समीकरणको दुबैतिर 18 जोड्नुहोस्।

$$3a=-3$$

दुबैतिर 3 ले भाग गर्नुहोस्।

$$a=-1$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$a=-1,b=2$$