समाधान {l}{11x-9y=-4}{6x-5y=-3}

$$\left. \begin{array} { l } { 11 x - 9 y = - 4 } \\ { 6 x - 5 y = - 3 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=7$$

$$y=9$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$11x-9y=-4,6x-5y=-3$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$11x-9y=-4$$

समीकरणको दुबैतिर 9y जोड्नुहोस्।

$$11x=9y-4$$

दुबैतिर 11 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{11}\left(9y-4\right)$$

\frac{1}{11} लाई 9y-4 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{9}{11}y-\frac{4}{11}$$

\frac{9y-4}{11} लाई x ले अर्को समीकरण 6x-5y=-3 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$6\left(\frac{9}{11}y-\frac{4}{11}\right)-5y=-3$$

6 लाई \frac{9y-4}{11} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$\frac{54}{11}y-\frac{24}{11}-5y=-3$$

-5y मा \frac{54y}{11} जोड्नुहोस्

$$-\frac{1}{11}y-\frac{24}{11}=-3$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{24}{11} जोड्नुहोस्।

$$-\frac{1}{11}y=-\frac{9}{11}$$

दुबैतिर -11 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$y=9$$

x=\frac{9}{11}y-\frac{4}{11} मा y लाई 9 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=\frac{9}{11}\times 9-\frac{4}{11}$$

\frac{9}{11} लाई 9 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{81-4}{11}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर -\frac{4}{11} लाई \frac{81}{11} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x=7$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=7,y=9$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$11x-9y=-4,6x-5y=-3$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}11&-9\\6&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\-3\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}11&-9\\6&-5\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}11&-9\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11&-9\\6&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&-9\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-3\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&-9\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-3\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&-9\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{11\left(-5\right)-\left(-9\times 6\right)}&-\frac{-9}{11\left(-5\right)-\left(-9\times 6\right)}\\-\frac{6}{11\left(-5\right)-\left(-9\times 6\right)}&\frac{11}{11\left(-5\right)-\left(-9\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\-3\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5&-9\\6&-11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\-3\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\left(-4\right)-9\left(-3\right)\\6\left(-4\right)-11\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=7,y=9$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$11x-9y=-4,6x-5y=-3$$

11x र 6x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 6 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 11 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$6\times 11x+6\left(-9\right)y=6\left(-4\right),11\times 6x+11\left(-5\right)y=11\left(-3\right)$$

सरल गर्नुहोस्।

$$66x-54y=-24,66x-55y=-33$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 66x-54y=-24 बाट 66x-55y=-33 घटाउनुहोस्।

$$66x-66x-54y+55y=-24+33$$

-66x मा 66x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 66x र -66x राशी रद्द हुन्छन्।

$$-54y+55y=-24+33$$

55y मा -54y जोड्नुहोस्

$$y=-24+33$$

33 मा -24 जोड्नुहोस्

$$y=9$$

6x-5y=-3 मा y लाई 9 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$6x-5\times 9=-3$$

-5 लाई 9 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$6x-45=-3$$

समीकरणको दुबैतिर 45 जोड्नुहोस्।

$$6x=42$$

दुबैतिर 6 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=7$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=7,y=9$$