समाधान {l}{10x-6y=22}{8x+y=4}

$$\left. \begin{array} { l } { 10 x - 6 y = 22 } \\ { 8 x + y = 4 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=\frac{23}{29}\approx 0.793103448$$

$$y = -\frac{68}{29} = -2\frac{10}{29} \approx -2.344827586$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$10x-6y=22,8x+y=4$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$10x-6y=22$$

समीकरणको दुबैतिर 6y जोड्नुहोस्।

$$10x=6y+22$$

दुबैतिर 10 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{10}\left(6y+22\right)$$

\frac{1}{10} लाई 6y+22 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{3}{5}y+\frac{11}{5}$$

\frac{3y+11}{5} लाई x ले अर्को समीकरण 8x+y=4 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$8\left(\frac{3}{5}y+\frac{11}{5}\right)+y=4$$

8 लाई \frac{3y+11}{5} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$\frac{24}{5}y+\frac{88}{5}+y=4$$

y मा \frac{24y}{5} जोड्नुहोस्

$$\frac{29}{5}y+\frac{88}{5}=4$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{88}{5} घटाउनुहोस्।

$$\frac{29}{5}y=-\frac{68}{5}$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{29}{5} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$y=-\frac{68}{29}$$

x=\frac{3}{5}y+\frac{11}{5} मा y लाई -\frac{68}{29} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=\frac{3}{5}\left(-\frac{68}{29}\right)+\frac{11}{5}$$

अंश पटकले अंशलाई र हर पटकलाई हरले गुणन गरी \frac{3}{5} लाई -\frac{68}{29} पटक गुणन गर्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएसम्म न्यूनतम पदहरूमा भिन्नलाई झार्नुहोस्।

$$x=-\frac{204}{145}+\frac{11}{5}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{11}{5} लाई -\frac{204}{145} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x=\frac{23}{29}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{23}{29},y=-\frac{68}{29}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$10x-6y=22,8x+y=4$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}10&-6\\8&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}22\\4\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}10&-6\\8&1\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}10&-6\\8&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10&-6\\8&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&-6\\8&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\4\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&-6\\8&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\4\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&-6\\8&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10-\left(-6\times 8\right)}&-\frac{-6}{10-\left(-6\times 8\right)}\\-\frac{8}{10-\left(-6\times 8\right)}&\frac{10}{10-\left(-6\times 8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\4\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{58}&\frac{3}{29}\\-\frac{4}{29}&\frac{5}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\4\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{58}\times 22+\frac{3}{29}\times 4\\-\frac{4}{29}\times 22+\frac{5}{29}\times 4\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{23}{29}\\-\frac{68}{29}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=\frac{23}{29},y=-\frac{68}{29}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$10x-6y=22,8x+y=4$$

10x र 8x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 8 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 10 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$8\times 10x+8\left(-6\right)y=8\times 22,10\times 8x+10y=10\times 4$$

सरल गर्नुहोस्।

$$80x-48y=176,80x+10y=40$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 80x-48y=176 बाट 80x+10y=40 घटाउनुहोस्।

$$80x-80x-48y-10y=176-40$$

-80x मा 80x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 80x र -80x राशी रद्द हुन्छन्।

$$-48y-10y=176-40$$

-10y मा -48y जोड्नुहोस्

$$-58y=176-40$$

-40 मा 176 जोड्नुहोस्

$$-58y=136$$

दुबैतिर -58 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=-\frac{68}{29}$$

8x+y=4 मा y लाई -\frac{68}{29} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$8x-\frac{68}{29}=4$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{68}{29} जोड्नुहोस्।

$$8x=\frac{184}{29}$$

दुबैतिर 8 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{23}{29}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{23}{29},y=-\frac{68}{29}$$