समाधान {l}{10x+4y=-12}{-9x-5y=1}

$$\left. \begin{array} { l } { 10 x + 4 y = - 12 } \\ { - 9 x - 5 y = 1 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=-4$$

$$y=7$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$10x+4y=-12,-9x-5y=1$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$10x+4y=-12$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 4y घटाउनुहोस्।

$$10x=-4y-12$$

दुबैतिर 10 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{10}\left(-4y-12\right)$$

\frac{1}{10} लाई -4y-12 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{2}{5}y-\frac{6}{5}$$

\frac{-2y-6}{5} लाई x ले अर्को समीकरण -9x-5y=1 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$-9\left(-\frac{2}{5}y-\frac{6}{5}\right)-5y=1$$

-9 लाई \frac{-2y-6}{5} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$\frac{18}{5}y+\frac{54}{5}-5y=1$$

-5y मा \frac{18y}{5} जोड्नुहोस्

$$-\frac{7}{5}y+\frac{54}{5}=1$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{54}{5} घटाउनुहोस्।

$$-\frac{7}{5}y=-\frac{49}{5}$$

समीकरणको दुबैतिर -\frac{7}{5} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$y=7$$

x=-\frac{2}{5}y-\frac{6}{5} मा y लाई 7 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=-\frac{2}{5}\times 7-\frac{6}{5}$$

-\frac{2}{5} लाई 7 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{-14-6}{5}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर -\frac{6}{5} लाई -\frac{14}{5} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x=-4$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=-4,y=7$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$10x+4y=-12,-9x-5y=1$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}10&4\\-9&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-12\\1\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}10&4\\-9&-5\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}10&4\\-9&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10&4\\-9&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&4\\-9&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\1\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&4\\-9&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\1\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&4\\-9&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{10\left(-5\right)-4\left(-9\right)}&-\frac{4}{10\left(-5\right)-4\left(-9\right)}\\-\frac{-9}{10\left(-5\right)-4\left(-9\right)}&\frac{10}{10\left(-5\right)-4\left(-9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\1\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{14}&\frac{2}{7}\\-\frac{9}{14}&-\frac{5}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\1\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{14}\left(-12\right)+\frac{2}{7}\\-\frac{9}{14}\left(-12\right)-\frac{5}{7}\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\7\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=-4,y=7$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$10x+4y=-12,-9x-5y=1$$

10x र -9x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई -9 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 10 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$-9\times 10x-9\times 4y=-9\left(-12\right),10\left(-9\right)x+10\left(-5\right)y=10$$

सरल गर्नुहोस्।

$$-90x-36y=108,-90x-50y=10$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर -90x-36y=108 बाट -90x-50y=10 घटाउनुहोस्।

$$-90x+90x-36y+50y=108-10$$

90x मा -90x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै -90x र 90x राशी रद्द हुन्छन्।

$$-36y+50y=108-10$$

50y मा -36y जोड्नुहोस्

$$14y=108-10$$

-10 मा 108 जोड्नुहोस्

$$14y=98$$

दुबैतिर 14 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=7$$

-9x-5y=1 मा y लाई 7 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$-9x-5\times 7=1$$

-5 लाई 7 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-9x-35=1$$

समीकरणको दुबैतिर 35 जोड्नुहोस्।

$$-9x=36$$

दुबैतिर -9 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=-4$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=-4,y=7$$