समाधान {l}{10x+2y=50}{7x+2y=20}

$$\left. \begin{array} { l } { 10 x + 2 y = 50 } \\ { 7 x + 2 y = 20 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=10$$

$$y=-25$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$10x+2y=50,7x+2y=20$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$10x+2y=50$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 2y घटाउनुहोस्।

$$10x=-2y+50$$

दुबैतिर 10 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{10}\left(-2y+50\right)$$

\frac{1}{10} लाई -2y+50 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{1}{5}y+5$$

-\frac{y}{5}+5 लाई x ले अर्को समीकरण 7x+2y=20 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$7\left(-\frac{1}{5}y+5\right)+2y=20$$

7 लाई -\frac{y}{5}+5 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-\frac{7}{5}y+35+2y=20$$

2y मा -\frac{7y}{5} जोड्नुहोस्

$$\frac{3}{5}y+35=20$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 35 घटाउनुहोस्।

$$\frac{3}{5}y=-15$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{3}{5} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$y=-25$$

x=-\frac{1}{5}y+5 मा y लाई -25 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=-\frac{1}{5}\left(-25\right)+5$$

-\frac{1}{5} लाई -25 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=5+5$$

5 मा 5 जोड्नुहोस्

$$x=10$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=10,y=-25$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$10x+2y=50,7x+2y=20$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}10&2\\7&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}50\\20\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}10&2\\7&2\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}10&2\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10&2\\7&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&2\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\20\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&2\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\20\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&2\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\20\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{10\times 2-2\times 7}&-\frac{2}{10\times 2-2\times 7}\\-\frac{7}{10\times 2-2\times 7}&\frac{10}{10\times 2-2\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}50\\20\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\\-\frac{7}{6}&\frac{5}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}50\\20\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 50-\frac{1}{3}\times 20\\-\frac{7}{6}\times 50+\frac{5}{3}\times 20\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\-25\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=10,y=-25$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$10x+2y=50,7x+2y=20$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 10x+2y=50 बाट 7x+2y=20 घटाउनुहोस्।

$$10x-7x+2y-2y=50-20$$

-2y मा 2y जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 2y र -2y राशी रद्द हुन्छन्।

$$10x-7x=50-20$$

-7x मा 10x जोड्नुहोस्

$$3x=50-20$$

-20 मा 50 जोड्नुहोस्

$$3x=30$$

दुबैतिर 3 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=10$$

7x+2y=20 मा x लाई 10 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले y लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$7\times 10+2y=20$$

7 लाई 10 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$70+2y=20$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 70 घटाउनुहोस्।

$$2y=-50$$

दुबैतिर 2 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=-25$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=10,y=-25$$