समाधान {l}{1c+1V=16500}{2c+3V=40500}

$$\left. \begin{array} { l } { 1 c + 1 V = 16500 } \\ { 2 c + 3 V = 40500 } \end{array} \right.$$

c, V को लागि हल गर्नुहोस्

$$c=9000$$

$$V=7500$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$c+V=16500,2c+3V=40500$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको c लाई अलग गरी c का लागि हल गर्नुहोस्।

$$c+V=16500$$

समीकरणको दुबैतिरबाट V घटाउनुहोस्।

$$c=-V+16500$$

-V+16500 लाई c ले अर्को समीकरण 2c+3V=40500 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$2\left(-V+16500\right)+3V=40500$$

2 लाई -V+16500 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-2V+33000+3V=40500$$

3V मा -2V जोड्नुहोस्

$$V+33000=40500$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 33000 घटाउनुहोस्।

$$V=7500$$

c=-V+16500 मा V लाई 7500 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले c लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$c=-7500+16500$$

-7500 मा 16500 जोड्नुहोस्

$$c=9000$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$c=9000,V=7500$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$c+V=16500,2c+3V=40500$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\V\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16500\\40500\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\V\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16500\\40500\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\V\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16500\\40500\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}c\\V\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16500\\40500\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}c\\V\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-2}&-\frac{1}{3-2}\\-\frac{2}{3-2}&\frac{1}{3-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16500\\40500\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}c\\V\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3&-1\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16500\\40500\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}c\\V\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\times 16500-40500\\-2\times 16500+40500\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}c\\V\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9000\\7500\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू c र V लाई ता्नुहोस्।

$$c=9000,V=7500$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$c+V=16500,2c+3V=40500$$

c र 2c लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 2 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 1 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$2c+2V=2\times 16500,2c+3V=40500$$

सरल गर्नुहोस्।

$$2c+2V=33000,2c+3V=40500$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 2c+2V=33000 बाट 2c+3V=40500 घटाउनुहोस्।

$$2c-2c+2V-3V=33000-40500$$

-2c मा 2c जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 2c र -2c राशी रद्द हुन्छन्।

$$2V-3V=33000-40500$$

-3V मा 2V जोड्नुहोस्

$$-V=33000-40500$$

-40500 मा 33000 जोड्नुहोस्

$$-V=-7500$$

दुबैतिर -1 ले भाग गर्नुहोस्।

$$V=7500$$

2c+3V=40500 मा V लाई 7500 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले c लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$2c+3\times 7500=40500$$

3 लाई 7500 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$2c+22500=40500$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 22500 घटाउनुहोस्।

$$2c=18000$$

दुबैतिर 2 ले भाग गर्नुहोस्।

$$c=9000$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$c=9000,V=7500$$