समाधान {l}{0.966x-0.259y=100}{0.259x+0.966y=54}

$$\left. \begin{array} { l } { 0.966 x - 0.259 y = 100 } \\ { 0.259 x + 0.966 y = 54 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x = \frac{15798000}{142891} = 110\frac{79990}{142891} \approx 110.559797328$$

$$y = \frac{536000}{20413} = 26\frac{5262}{20413} \approx 26.257776907$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$0.966x-0.259y=100,0.259x+0.966y=54$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$0.966x-0.259y=100$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{259y}{1000} जोड्नुहोस्।

$$0.966x=0.259y+100$$

समीकरणको दुबैतिर 0.966 ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$x=\frac{500}{483}\left(0.259y+100\right)$$

\frac{500}{483} लाई \frac{259y}{1000}+100 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{37}{138}y+\frac{50000}{483}$$

\frac{37y}{138}+\frac{50000}{483} लाई x ले अर्को समीकरण 0.259x+0.966y=54 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$0.259\left(\frac{37}{138}y+\frac{50000}{483}\right)+0.966y=54$$

0.259 लाई \frac{37y}{138}+\frac{50000}{483} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$\frac{9583}{138000}y+\frac{1850}{69}+0.966y=54$$

\frac{483y}{500} मा \frac{9583y}{138000} जोड्नुहोस्

$$\frac{142891}{138000}y+\frac{1850}{69}=54$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{1850}{69} घटाउनुहोस्।

$$\frac{142891}{138000}y=\frac{1876}{69}$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{142891}{138000} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$y=\frac{536000}{20413}$$

x=\frac{37}{138}y+\frac{50000}{483} मा y लाई \frac{536000}{20413} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=\frac{37}{138}\times \frac{536000}{20413}+\frac{50000}{483}$$

अंश पटकले अंशलाई र हर पटकलाई हरले गुणन गरी \frac{37}{138} लाई \frac{536000}{20413} पटक गुणन गर्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएसम्म न्यूनतम पदहरूमा भिन्नलाई झार्नुहोस्।

$$x=\frac{9916000}{1408497}+\frac{50000}{483}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{50000}{483} लाई \frac{9916000}{1408497} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x=\frac{15798000}{142891}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{15798000}{142891},y=\frac{536000}{20413}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$0.966x-0.259y=100,0.259x+0.966y=54$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}0.966&-0.259\\0.259&0.966\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}100\\54\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}0.966&-0.259\\0.259&0.966\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.966&-0.259\\0.259&0.966\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.966&-0.259\\0.259&0.966\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.966&-0.259\\0.259&0.966\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\54\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.966&-0.259\\0.259&0.966\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\54\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.966&-0.259\\0.259&0.966\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\54\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.966}{0.966\times 0.966-\left(-0.259\times 0.259\right)}&-\frac{-0.259}{0.966\times 0.966-\left(-0.259\times 0.259\right)}\\-\frac{0.259}{0.966\times 0.966-\left(-0.259\times 0.259\right)}&\frac{0.966}{0.966\times 0.966-\left(-0.259\times 0.259\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100\\54\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{138000}{142891}&\frac{37000}{142891}\\-\frac{37000}{142891}&\frac{138000}{142891}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100\\54\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{138000}{142891}\times 100+\frac{37000}{142891}\times 54\\-\frac{37000}{142891}\times 100+\frac{138000}{142891}\times 54\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15798000}{142891}\\\frac{536000}{20413}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=\frac{15798000}{142891},y=\frac{536000}{20413}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$0.966x-0.259y=100,0.259x+0.966y=54$$

\frac{483x}{500} र \frac{259x}{1000} लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 0.259 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 0.966 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$0.259\times 0.966x+0.259\left(-0.259\right)y=0.259\times 100,0.966\times 0.259x+0.966\times 0.966y=0.966\times 54$$

सरल गर्नुहोस्।

$$0.250194x-0.067081y=25.9,0.250194x+0.933156y=52.164$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 0.250194x-0.067081y=25.9 बाट 0.250194x+0.933156y=52.164 घटाउनुहोस्।

$$0.250194x-0.250194x-0.067081y-0.933156y=25.9-52.164$$

-\frac{125097x}{500000} मा \frac{125097x}{500000} जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै \frac{125097x}{500000} र -\frac{125097x}{500000} राशी रद्द हुन्छन्।

$$-0.067081y-0.933156y=25.9-52.164$$

-\frac{233289y}{250000} मा -\frac{67081y}{1000000} जोड्नुहोस्

$$-1.000237y=25.9-52.164$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर 25.9 लाई -52.164 मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$-1.000237y=-26.264$$

समीकरणको दुबैतिर -1.000237 ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$y=\frac{536000}{20413}$$

0.259x+0.966y=54 मा y लाई \frac{536000}{20413} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$0.259x+0.966\times \frac{536000}{20413}=54$$

अंश पटकले अंशलाई र हर पटकलाई हरले गुणन गरी 0.966 लाई \frac{536000}{20413} पटक गुणन गर्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएसम्म न्यूनतम पदहरूमा भिन्नलाई झार्नुहोस्।

$$0.259x+\frac{517776}{20413}=54$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{517776}{20413} घटाउनुहोस्।

$$0.259x=\frac{584526}{20413}$$

समीकरणको दुबैतिर 0.259 ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$x=\frac{15798000}{142891}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{15798000}{142891},y=\frac{536000}{20413}$$