समाधान {l}{0.045x+0.11y=0.036}{0.19x+0.405y=0.149}

$$\left. \begin{array} { l } { 0.045 x + 0.11 y = 0.036 } \\ { 0.19 x + 0.405 y = 0.149 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=\frac{362}{535}\approx 0.676635514$$

$$y=\frac{27}{535}\approx 0.05046729$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$0.045x+0.11y=0.036,0.19x+0.405y=0.149$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$0.045x+0.11y=0.036$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{11y}{100} घटाउनुहोस्।

$$0.045x=-0.11y+0.036$$

समीकरणको दुबैतिर 0.045 ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$x=\frac{200}{9}\left(-0.11y+0.036\right)$$

\frac{200}{9} लाई -\frac{11y}{100}+0.036 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{22}{9}y+0.8$$

-\frac{22y}{9}+0.8 लाई x ले अर्को समीकरण 0.19x+0.405y=0.149 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$0.19\left(-\frac{22}{9}y+0.8\right)+0.405y=0.149$$

0.19 लाई -\frac{22y}{9}+0.8 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-\frac{209}{450}y+0.152+0.405y=0.149$$

\frac{81y}{200} मा -\frac{209y}{450} जोड्नुहोस्

$$-\frac{107}{1800}y+0.152=0.149$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 0.152 घटाउनुहोस्।

$$-\frac{107}{1800}y=-0.003$$

समीकरणको दुबैतिर -\frac{107}{1800} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$y=\frac{27}{535}$$

x=-\frac{22}{9}y+0.8 मा y लाई \frac{27}{535} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=-\frac{22}{9}\times \frac{27}{535}+0.8$$

अंश पटकले अंशलाई र हर पटकलाई हरले गुणन गरी -\frac{22}{9} लाई \frac{27}{535} पटक गुणन गर्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएसम्म न्यूनतम पदहरूमा भिन्नलाई झार्नुहोस्।

$$x=-\frac{66}{535}+0.8$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर 0.8 लाई -\frac{66}{535} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x=\frac{362}{535}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{362}{535},y=\frac{27}{535}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$0.045x+0.11y=0.036,0.19x+0.405y=0.149$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}0.045&0.11\\0.19&0.405\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0.036\\0.149\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}0.045&0.11\\0.19&0.405\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.045&0.11\\0.19&0.405\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.045&0.11\\0.19&0.405\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.045&0.11\\0.19&0.405\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.036\\0.149\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.045&0.11\\0.19&0.405\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.036\\0.149\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.045&0.11\\0.19&0.405\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.036\\0.149\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.405}{0.045\times 0.405-0.11\times 0.19}&-\frac{0.11}{0.045\times 0.405-0.11\times 0.19}\\-\frac{0.19}{0.045\times 0.405-0.11\times 0.19}&\frac{0.045}{0.045\times 0.405-0.11\times 0.19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0.036\\0.149\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{16200}{107}&\frac{4400}{107}\\\frac{7600}{107}&-\frac{1800}{107}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0.036\\0.149\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{16200}{107}\times 0.036+\frac{4400}{107}\times 0.149\\\frac{7600}{107}\times 0.036-\frac{1800}{107}\times 0.149\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{362}{535}\\\frac{27}{535}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=\frac{362}{535},y=\frac{27}{535}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$0.045x+0.11y=0.036,0.19x+0.405y=0.149$$

\frac{9x}{200} र \frac{19x}{100} लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 0.19 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 0.045 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$0.19\times 0.045x+0.19\times 0.11y=0.19\times 0.036,0.045\times 0.19x+0.045\times 0.405y=0.045\times 0.149$$

सरल गर्नुहोस्।

$$0.00855x+0.0209y=0.00684,0.00855x+0.018225y=0.006705$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 0.00855x+0.0209y=0.00684 बाट 0.00855x+0.018225y=0.006705 घटाउनुहोस्।

$$0.00855x-0.00855x+0.0209y-0.018225y=0.00684-0.006705$$

-\frac{171x}{20000} मा \frac{171x}{20000} जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै \frac{171x}{20000} र -\frac{171x}{20000} राशी रद्द हुन्छन्।

$$0.0209y-0.018225y=0.00684-0.006705$$

-\frac{729y}{40000} मा \frac{209y}{10000} जोड्नुहोस्

$$0.002675y=0.00684-0.006705$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर 0.00684 लाई -0.006705 मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$0.002675y=0.000135$$

समीकरणको दुबैतिर 0.002675 ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$y=\frac{27}{535}$$

0.19x+0.405y=0.149 मा y लाई \frac{27}{535} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$0.19x+0.405\times \frac{27}{535}=0.149$$

अंश पटकले अंशलाई र हर पटकलाई हरले गुणन गरी 0.405 लाई \frac{27}{535} पटक गुणन गर्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएसम्म न्यूनतम पदहरूमा भिन्नलाई झार्नुहोस्।

$$0.19x+\frac{2187}{107000}=0.149$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{2187}{107000} घटाउनुहोस्।

$$0.19x=\frac{3439}{26750}$$

समीकरणको दुबैतिर 0.19 ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$x=\frac{362}{535}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{362}{535},y=\frac{27}{535}$$