समाधान {l}{0=1/3-b+c}{0=3+3b+c}

$$\left. \begin{array} { l } { 0 = \frac { 1 } { 3 } - b + c } \\ { 0 = 3 + 3 b + c } \end{array} \right.$$

b, c को लागि हल गर्नुहोस्

$$b=-\frac{2}{3}\approx -0.666666667$$

$$c=-1$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। साइडहरू बदल्नुहोस् जसले गर्दा सबै चर पदहरू बायाँ साइडमा आउनेछन्।

$$\frac{1}{3}-b+c=0$$

दुवै छेउबाट \frac{1}{3} घटाउनुहोस्। शून्यबाट कुनै अंक घटाउँदा सोही अंक बराबरको ऋणात्मक परिणाम आउँछ।

$$-b+c=-\frac{1}{3}$$

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। साइडहरू बदल्नुहोस् जसले गर्दा सबै चर पदहरू बायाँ साइडमा आउनेछन्।

$$3+3b+c=0$$

दुवै छेउबाट 3 घटाउनुहोस्। शून्यबाट कुनै अंक घटाउँदा सोही अंक बराबरको ऋणात्मक परिणाम आउँछ।

$$3b+c=-3$$

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$-b+c=-\frac{1}{3},3b+c=-3$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको b लाई अलग गरी b का लागि हल गर्नुहोस्।

$$-b+c=-\frac{1}{3}$$

समीकरणको दुबैतिरबाट c घटाउनुहोस्।

$$-b=-c-\frac{1}{3}$$

दुबैतिर -1 ले भाग गर्नुहोस्।

$$b=-\left(-c-\frac{1}{3}\right)$$

-1 लाई -c-\frac{1}{3} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$b=c+\frac{1}{3}$$

c+\frac{1}{3} लाई b ले अर्को समीकरण 3b+c=-3 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$3\left(c+\frac{1}{3}\right)+c=-3$$

3 लाई c+\frac{1}{3} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$3c+1+c=-3$$

c मा 3c जोड्नुहोस्

$$4c+1=-3$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 1 घटाउनुहोस्।

$$4c=-4$$

दुबैतिर 4 ले भाग गर्नुहोस्।

$$c=-1$$

b=c+\frac{1}{3} मा c लाई -1 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले b लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$b=-1+\frac{1}{3}$$

-1 मा \frac{1}{3} जोड्नुहोस्

$$b=-\frac{2}{3}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$b=-\frac{2}{3},c=-1$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। साइडहरू बदल्नुहोस् जसले गर्दा सबै चर पदहरू बायाँ साइडमा आउनेछन्।

$$\frac{1}{3}-b+c=0$$

दुवै छेउबाट \frac{1}{3} घटाउनुहोस्। शून्यबाट कुनै अंक घटाउँदा सोही अंक बराबरको ऋणात्मक परिणाम आउँछ।

$$-b+c=-\frac{1}{3}$$

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। साइडहरू बदल्नुहोस् जसले गर्दा सबै चर पदहरू बायाँ साइडमा आउनेछन्।

$$3+3b+c=0$$

दुवै छेउबाट 3 घटाउनुहोस्। शून्यबाट कुनै अंक घटाउँदा सोही अंक बराबरको ऋणात्मक परिणाम आउँछ।

$$3b+c=-3$$

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$-b+c=-\frac{1}{3},3b+c=-3$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}-1&1\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\\-3\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}-1&1\\3&1\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&1\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\\-3\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\\-3\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\\-3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{-1-3}&-\frac{1}{-1-3}\\-\frac{3}{-1-3}&-\frac{1}{-1-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\\-3\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\\frac{3}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\\-3\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\left(-\frac{1}{3}\right)+\frac{1}{4}\left(-3\right)\\\frac{3}{4}\left(-\frac{1}{3}\right)+\frac{1}{4}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}\\-1\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू b र c लाई ता्नुहोस्।

$$b=-\frac{2}{3},c=-1$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। साइडहरू बदल्नुहोस् जसले गर्दा सबै चर पदहरू बायाँ साइडमा आउनेछन्।

$$\frac{1}{3}-b+c=0$$

दुवै छेउबाट \frac{1}{3} घटाउनुहोस्। शून्यबाट कुनै अंक घटाउँदा सोही अंक बराबरको ऋणात्मक परिणाम आउँछ।

$$-b+c=-\frac{1}{3}$$

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। साइडहरू बदल्नुहोस् जसले गर्दा सबै चर पदहरू बायाँ साइडमा आउनेछन्।

$$3+3b+c=0$$

दुवै छेउबाट 3 घटाउनुहोस्। शून्यबाट कुनै अंक घटाउँदा सोही अंक बराबरको ऋणात्मक परिणाम आउँछ।

$$3b+c=-3$$

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$-b+c=-\frac{1}{3},3b+c=-3$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर -b+c=-\frac{1}{3} बाट 3b+c=-3 घटाउनुहोस्।

$$-b-3b+c-c=-\frac{1}{3}+3$$

-c मा c जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै c र -c राशी रद्द हुन्छन्।

$$-b-3b=-\frac{1}{3}+3$$

-3b मा -b जोड्नुहोस्

$$-4b=-\frac{1}{3}+3$$

3 मा -\frac{1}{3} जोड्नुहोस्

$$-4b=\frac{8}{3}$$

दुबैतिर -4 ले भाग गर्नुहोस्।

$$b=-\frac{2}{3}$$

3b+c=-3 मा b लाई -\frac{2}{3} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले c लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$3\left(-\frac{2}{3}\right)+c=-3$$

3 लाई -\frac{2}{3} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-2+c=-3$$

समीकरणको दुबैतिर 2 जोड्नुहोस्।

$$c=-1$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$b=-\frac{2}{3},c=-1$$