समाधान {l}{-x-5y=11}{2x+y=9}

$$\left. \begin{array} { l } { - x - 5 y = 11 } \\ { 2 x + y = 9 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x = \frac{56}{9} = 6\frac{2}{9} \approx 6.222222222$$

$$y = -\frac{31}{9} = -3\frac{4}{9} \approx -3.444444444$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$-x-5y=11,2x+y=9$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$-x-5y=11$$

समीकरणको दुबैतिर 5y जोड्नुहोस्।

$$-x=5y+11$$

दुबैतिर -1 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=-\left(5y+11\right)$$

-1 लाई 5y+11 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-5y-11$$

-5y-11 लाई x ले अर्को समीकरण 2x+y=9 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$2\left(-5y-11\right)+y=9$$

2 लाई -5y-11 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-10y-22+y=9$$

y मा -10y जोड्नुहोस्

$$-9y-22=9$$

समीकरणको दुबैतिर 22 जोड्नुहोस्।

$$-9y=31$$

दुबैतिर -9 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=-\frac{31}{9}$$

x=-5y-11 मा y लाई -\frac{31}{9} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=-5\left(-\frac{31}{9}\right)-11$$

-5 लाई -\frac{31}{9} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{155}{9}-11$$

\frac{155}{9} मा -11 जोड्नुहोस्

$$x=\frac{56}{9}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{56}{9},y=-\frac{31}{9}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$-x-5y=11,2x+y=9$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}-1&-5\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\9\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}-1&-5\\2&1\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&-5\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&-5\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-5\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\9\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-5\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\9\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-5\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{-1-\left(-5\times 2\right)}&-\frac{-5}{-1-\left(-5\times 2\right)}\\-\frac{2}{-1-\left(-5\times 2\right)}&-\frac{1}{-1-\left(-5\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\9\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}&\frac{5}{9}\\-\frac{2}{9}&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\9\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}\times 11+\frac{5}{9}\times 9\\-\frac{2}{9}\times 11-\frac{1}{9}\times 9\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{56}{9}\\-\frac{31}{9}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=\frac{56}{9},y=-\frac{31}{9}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$-x-5y=11,2x+y=9$$

-x र 2x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 2 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई -1 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$2\left(-1\right)x+2\left(-5\right)y=2\times 11,-2x-y=-9$$

सरल गर्नुहोस्।

$$-2x-10y=22,-2x-y=-9$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर -2x-10y=22 बाट -2x-y=-9 घटाउनुहोस्।

$$-2x+2x-10y+y=22+9$$

2x मा -2x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै -2x र 2x राशी रद्द हुन्छन्।

$$-10y+y=22+9$$

y मा -10y जोड्नुहोस्

$$-9y=22+9$$

9 मा 22 जोड्नुहोस्

$$-9y=31$$

दुबैतिर -9 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=-\frac{31}{9}$$

2x+y=9 मा y लाई -\frac{31}{9} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$2x-\frac{31}{9}=9$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{31}{9} जोड्नुहोस्।

$$2x=\frac{112}{9}$$

दुबैतिर 2 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{56}{9}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{56}{9},y=-\frac{31}{9}$$