समाधान {l}{-9x-y=-3}{-8x+2y=-20}

$$\left. \begin{array} { l } { - 9 x - y = - 3 } \\ { - 8 x + 2 y = - 20 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=1$$

$$y=-6$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$-9x-y=-3,-8x+2y=-20$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$-9x-y=-3$$

समीकरणको दुबैतिर y जोड्नुहोस्।

$$-9x=y-3$$

दुबैतिर -9 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{1}{9}\left(y-3\right)$$

-\frac{1}{9} लाई y-3 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{1}{9}y+\frac{1}{3}$$

-\frac{y}{9}+\frac{1}{3} लाई x ले अर्को समीकरण -8x+2y=-20 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$-8\left(-\frac{1}{9}y+\frac{1}{3}\right)+2y=-20$$

-8 लाई -\frac{y}{9}+\frac{1}{3} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$\frac{8}{9}y-\frac{8}{3}+2y=-20$$

2y मा \frac{8y}{9} जोड्नुहोस्

$$\frac{26}{9}y-\frac{8}{3}=-20$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{8}{3} जोड्नुहोस्।

$$\frac{26}{9}y=-\frac{52}{3}$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{26}{9} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$y=-6$$

x=-\frac{1}{9}y+\frac{1}{3} मा y लाई -6 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=-\frac{1}{9}\left(-6\right)+\frac{1}{3}$$

-\frac{1}{9} लाई -6 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{2+1}{3}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{1}{3} लाई \frac{2}{3} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x=1$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=1,y=-6$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$-9x-y=-3,-8x+2y=-20$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}-9&-1\\-8&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-20\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}-9&-1\\-8&2\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}-9&-1\\-8&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9&-1\\-8&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&-1\\-8&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-20\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&-1\\-8&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-20\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&-1\\-8&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-20\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{-9\times 2-\left(-\left(-8\right)\right)}&-\frac{-1}{-9\times 2-\left(-\left(-8\right)\right)}\\-\frac{-8}{-9\times 2-\left(-\left(-8\right)\right)}&-\frac{9}{-9\times 2-\left(-\left(-8\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-20\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}&-\frac{1}{26}\\-\frac{4}{13}&\frac{9}{26}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-20\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}\left(-3\right)-\frac{1}{26}\left(-20\right)\\-\frac{4}{13}\left(-3\right)+\frac{9}{26}\left(-20\right)\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-6\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=1,y=-6$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$-9x-y=-3,-8x+2y=-20$$

-9x र -8x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई -8 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई -9 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$-8\left(-9\right)x-8\left(-1\right)y=-8\left(-3\right),-9\left(-8\right)x-9\times 2y=-9\left(-20\right)$$

सरल गर्नुहोस्।

$$72x+8y=24,72x-18y=180$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 72x+8y=24 बाट 72x-18y=180 घटाउनुहोस्।

$$72x-72x+8y+18y=24-180$$

-72x मा 72x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 72x र -72x राशी रद्द हुन्छन्।

$$8y+18y=24-180$$

18y मा 8y जोड्नुहोस्

$$26y=24-180$$

-180 मा 24 जोड्नुहोस्

$$26y=-156$$

दुबैतिर 26 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=-6$$

-8x+2y=-20 मा y लाई -6 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$-8x+2\left(-6\right)=-20$$

2 लाई -6 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-8x-12=-20$$

समीकरणको दुबैतिर 12 जोड्नुहोस्।

$$-8x=-8$$

दुबैतिर -8 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=1$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=1,y=-6$$