समाधान {l}{-9x+6y=13}{cx+8y=-12}

$$\left. \begin{array} { l } { - 9 x + 6 y = 13 } \\ { c x + 8 y = - 12 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=-\frac{88}{3\left(c+12\right)}$$

$$y=-\frac{108-13c}{6\left(c+12\right)}$$

$$c\neq -12$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$-9x+6y=13,cx+8y=-12$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$-9x+6y=13$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 6y घटाउनुहोस्।

$$-9x=-6y+13$$

दुबैतिर -9 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{1}{9}\left(-6y+13\right)$$

-\frac{1}{9} लाई -6y+13 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{2}{3}y-\frac{13}{9}$$

\frac{2y}{3}-\frac{13}{9} लाई x ले अर्को समीकरण cx+8y=-12 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$c\left(\frac{2}{3}y-\frac{13}{9}\right)+8y=-12$$

c लाई \frac{2y}{3}-\frac{13}{9} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$\frac{2c}{3}y-\frac{13c}{9}+8y=-12$$

8y मा \frac{2cy}{3} जोड्नुहोस्

$$\left(\frac{2c}{3}+8\right)y-\frac{13c}{9}=-12$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{13c}{9} जोड्नुहोस्।

$$\left(\frac{2c}{3}+8\right)y=\frac{13c}{9}-12$$

दुबैतिर \frac{2c}{3}+8 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=\frac{13c-108}{6\left(c+12\right)}$$

x=\frac{2}{3}y-\frac{13}{9} मा y लाई \frac{-108+13c}{6\left(c+12\right)} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=\frac{2}{3}\times \frac{13c-108}{6\left(c+12\right)}-\frac{13}{9}$$

\frac{2}{3} लाई \frac{-108+13c}{6\left(c+12\right)} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{13c-108}{9\left(c+12\right)}-\frac{13}{9}$$

\frac{-108+13c}{9\left(c+12\right)} मा -\frac{13}{9} जोड्नुहोस्

$$x=-\frac{88}{3\left(c+12\right)}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=-\frac{88}{3\left(c+12\right)},y=\frac{13c-108}{6\left(c+12\right)}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$-9x+6y=13,cx+8y=-12$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}-9&6\\c&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\-12\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}-9&6\\c&8\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}-9&6\\c&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9&6\\c&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&6\\c&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-12\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&6\\c&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-12\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&6\\c&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-12\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{-9\times 8-6c}&-\frac{6}{-9\times 8-6c}\\-\frac{c}{-9\times 8-6c}&-\frac{9}{-9\times 8-6c}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-12\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{3\left(c+12\right)}&\frac{1}{c+12}\\\frac{c}{6\left(c+12\right)}&\frac{3}{2\left(c+12\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-12\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\left(-\frac{4}{3\left(c+12\right)}\right)\times 13+\frac{1}{c+12}\left(-12\right)\\\frac{c}{6\left(c+12\right)}\times 13+\frac{3}{2\left(c+12\right)}\left(-12\right)\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{88}{3\left(c+12\right)}\\\frac{13c-108}{6\left(c+12\right)}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=-\frac{88}{3\left(c+12\right)},y=\frac{13c-108}{6\left(c+12\right)}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$-9x+6y=13,cx+8y=-12$$

-9x र cx लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई c ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई -9 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$c\left(-9\right)x+c\times 6y=c\times 13,-9cx-9\times 8y=-9\left(-12\right)$$

सरल गर्नुहोस्।

$$\left(-9c\right)x+6cy=13c,\left(-9c\right)x-72y=108$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर \left(-9c\right)x+6cy=13c बाट \left(-9c\right)x-72y=108 घटाउनुहोस्।

$$\left(-9c\right)x+9cx+6cy+72y=13c-108$$

9cx मा -9cx जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै -9cx र 9cx राशी रद्द हुन्छन्।

$$6cy+72y=13c-108$$

72y मा 6cy जोड्नुहोस्

$$\left(6c+72\right)y=13c-108$$

दुबैतिर 72+6c ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=\frac{13c-108}{6\left(c+12\right)}$$

cx+8y=-12 मा y लाई \frac{13c-108}{6\left(c+12\right)} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$cx+8\times \frac{13c-108}{6\left(c+12\right)}=-12$$

8 लाई \frac{13c-108}{6\left(c+12\right)} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$cx+\frac{4\left(13c-108\right)}{3\left(c+12\right)}=-12$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{4\left(13c-108\right)}{3\left(c+12\right)} घटाउनुहोस्।

$$cx=-\frac{88c}{3\left(c+12\right)}$$

दुबैतिर c ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{88}{3\left(c+12\right)}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=-\frac{88}{3\left(c+12\right)},y=\frac{13c-108}{6\left(c+12\right)}$$