समाधान {l}{-8x+8y=-16}{-6x+y=18}

$$\left. \begin{array} { l } { - 8 x + 8 y = - 16 } \\ { - 6 x + y = 18 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=-4$$

$$y=-6$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$-8x+8y=-16,-6x+y=18$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$-8x+8y=-16$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 8y घटाउनुहोस्।

$$-8x=-8y-16$$

दुबैतिर -8 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{1}{8}\left(-8y-16\right)$$

-\frac{1}{8} लाई -8y-16 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=y+2$$

y+2 लाई x ले अर्को समीकरण -6x+y=18 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$-6\left(y+2\right)+y=18$$

-6 लाई y+2 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-6y-12+y=18$$

y मा -6y जोड्नुहोस्

$$-5y-12=18$$

समीकरणको दुबैतिर 12 जोड्नुहोस्।

$$-5y=30$$

दुबैतिर -5 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=-6$$

x=y+2 मा y लाई -6 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=-6+2$$

-6 मा 2 जोड्नुहोस्

$$x=-4$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=-4,y=-6$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$-8x+8y=-16,-6x+y=18$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}-8&8\\-6&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-16\\18\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}-8&8\\-6&1\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}-8&8\\-6&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8&8\\-6&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&8\\-6&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\18\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&8\\-6&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\18\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&8\\-6&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\18\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{-8-8\left(-6\right)}&-\frac{8}{-8-8\left(-6\right)}\\-\frac{-6}{-8-8\left(-6\right)}&-\frac{8}{-8-8\left(-6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-16\\18\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{40}&-\frac{1}{5}\\\frac{3}{20}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-16\\18\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{40}\left(-16\right)-\frac{1}{5}\times 18\\\frac{3}{20}\left(-16\right)-\frac{1}{5}\times 18\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\-6\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=-4,y=-6$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$-8x+8y=-16,-6x+y=18$$

-8x र -6x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई -6 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई -8 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$-6\left(-8\right)x-6\times 8y=-6\left(-16\right),-8\left(-6\right)x-8y=-8\times 18$$

सरल गर्नुहोस्।

$$48x-48y=96,48x-8y=-144$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 48x-48y=96 बाट 48x-8y=-144 घटाउनुहोस्।

$$48x-48x-48y+8y=96+144$$

-48x मा 48x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 48x र -48x राशी रद्द हुन्छन्।

$$-48y+8y=96+144$$

8y मा -48y जोड्नुहोस्

$$-40y=96+144$$

144 मा 96 जोड्नुहोस्

$$-40y=240$$

दुबैतिर -40 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=-6$$

-6x+y=18 मा y लाई -6 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$-6x-6=18$$

समीकरणको दुबैतिर 6 जोड्नुहोस्।

$$-6x=24$$

दुबैतिर -6 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=-4$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=-4,y=-6$$