समाधान {l}{-8x+7y=-9}{-9x+7y=-18}

$$\left. \begin{array} { l } { - 8 x + 7 y = - 9 } \\ { - 9 x + 7 y = - 18 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=9$$

$$y=9$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$-8x+7y=-9,-9x+7y=-18$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$-8x+7y=-9$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 7y घटाउनुहोस्।

$$-8x=-7y-9$$

दुबैतिर -8 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{1}{8}\left(-7y-9\right)$$

-\frac{1}{8} लाई -7y-9 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{7}{8}y+\frac{9}{8}$$

\frac{7y+9}{8} लाई x ले अर्को समीकरण -9x+7y=-18 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$-9\left(\frac{7}{8}y+\frac{9}{8}\right)+7y=-18$$

-9 लाई \frac{7y+9}{8} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-\frac{63}{8}y-\frac{81}{8}+7y=-18$$

7y मा -\frac{63y}{8} जोड्नुहोस्

$$-\frac{7}{8}y-\frac{81}{8}=-18$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{81}{8} जोड्नुहोस्।

$$-\frac{7}{8}y=-\frac{63}{8}$$

समीकरणको दुबैतिर -\frac{7}{8} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$y=9$$

x=\frac{7}{8}y+\frac{9}{8} मा y लाई 9 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=\frac{7}{8}\times 9+\frac{9}{8}$$

\frac{7}{8} लाई 9 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{63+9}{8}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{9}{8} लाई \frac{63}{8} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x=9$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=9,y=9$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$-8x+7y=-9,-9x+7y=-18$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}-8&7\\-9&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\-18\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}-8&7\\-9&7\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}-8&7\\-9&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8&7\\-9&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&7\\-9&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-18\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&7\\-9&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-18\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&7\\-9&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-18\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{-8\times 7-7\left(-9\right)}&-\frac{7}{-8\times 7-7\left(-9\right)}\\-\frac{-9}{-8\times 7-7\left(-9\right)}&-\frac{8}{-8\times 7-7\left(-9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-18\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-1\\\frac{9}{7}&-\frac{8}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-18\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9-\left(-18\right)\\\frac{9}{7}\left(-9\right)-\frac{8}{7}\left(-18\right)\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\9\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=9,y=9$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$-8x+7y=-9,-9x+7y=-18$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर -8x+7y=-9 बाट -9x+7y=-18 घटाउनुहोस्।

$$-8x+9x+7y-7y=-9+18$$

-7y मा 7y जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 7y र -7y राशी रद्द हुन्छन्।

$$-8x+9x=-9+18$$

9x मा -8x जोड्नुहोस्

$$x=-9+18$$

18 मा -9 जोड्नुहोस्

$$x=9$$

-9x+7y=-18 मा x लाई 9 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले y लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$-9\times 9+7y=-18$$

-9 लाई 9 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-81+7y=-18$$

समीकरणको दुबैतिर 81 जोड्नुहोस्।

$$7y=63$$

दुबैतिर 7 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=9$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=9,y=9$$