समाधान {l}{-8x+4y=8}{8x-y=16}

$$\left. \begin{array} { l } { - 8 x + 4 y = 8 } \\ { 8 x - y = 16 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=3$$

$$y=8$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$-8x+4y=8,8x-y=16$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$-8x+4y=8$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 4y घटाउनुहोस्।

$$-8x=-4y+8$$

दुबैतिर -8 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{1}{8}\left(-4y+8\right)$$

-\frac{1}{8} लाई -4y+8 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{2}y-1$$

\frac{y}{2}-1 लाई x ले अर्को समीकरण 8x-y=16 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$8\left(\frac{1}{2}y-1\right)-y=16$$

8 लाई \frac{y}{2}-1 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$4y-8-y=16$$

-y मा 4y जोड्नुहोस्

$$3y-8=16$$

समीकरणको दुबैतिर 8 जोड्नुहोस्।

$$3y=24$$

दुबैतिर 3 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=8$$

x=\frac{1}{2}y-1 मा y लाई 8 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=\frac{1}{2}\times 8-1$$

\frac{1}{2} लाई 8 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=4-1$$

4 मा -1 जोड्नुहोस्

$$x=3$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=3,y=8$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$-8x+4y=8,8x-y=16$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}-8&4\\8&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\16\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}-8&4\\8&-1\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}-8&4\\8&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8&4\\8&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&4\\8&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\16\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&4\\8&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\16\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&4\\8&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\16\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-8\left(-1\right)-4\times 8}&-\frac{4}{-8\left(-1\right)-4\times 8}\\-\frac{8}{-8\left(-1\right)-4\times 8}&-\frac{8}{-8\left(-1\right)-4\times 8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\16\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{24}&\frac{1}{6}\\\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\16\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{24}\times 8+\frac{1}{6}\times 16\\\frac{1}{3}\times 8+\frac{1}{3}\times 16\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\8\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=3,y=8$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$-8x+4y=8,8x-y=16$$

-8x र 8x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 8 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई -8 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$8\left(-8\right)x+8\times 4y=8\times 8,-8\times 8x-8\left(-1\right)y=-8\times 16$$

सरल गर्नुहोस्।

$$-64x+32y=64,-64x+8y=-128$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर -64x+32y=64 बाट -64x+8y=-128 घटाउनुहोस्।

$$-64x+64x+32y-8y=64+128$$

64x मा -64x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै -64x र 64x राशी रद्द हुन्छन्।

$$32y-8y=64+128$$

-8y मा 32y जोड्नुहोस्

$$24y=64+128$$

128 मा 64 जोड्नुहोस्

$$24y=192$$

दुबैतिर 24 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=8$$

8x-y=16 मा y लाई 8 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$8x-8=16$$

समीकरणको दुबैतिर 8 जोड्नुहोस्।

$$8x=24$$

दुबैतिर 8 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=3$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=3,y=8$$