समाधान {l}{-7x+2y=-24}{5x-y=18}

$$\left. \begin{array} { l } { - 7 x + 2 y = - 24 } \\ { 5 x - y = 18 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=4$$

$$y=2$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$-7x+2y=-24,5x-y=18$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$-7x+2y=-24$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 2y घटाउनुहोस्।

$$-7x=-2y-24$$

दुबैतिर -7 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{1}{7}\left(-2y-24\right)$$

-\frac{1}{7} लाई -2y-24 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{2}{7}y+\frac{24}{7}$$

\frac{24+2y}{7} लाई x ले अर्को समीकरण 5x-y=18 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$5\left(\frac{2}{7}y+\frac{24}{7}\right)-y=18$$

5 लाई \frac{24+2y}{7} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$\frac{10}{7}y+\frac{120}{7}-y=18$$

-y मा \frac{10y}{7} जोड्नुहोस्

$$\frac{3}{7}y+\frac{120}{7}=18$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{120}{7} घटाउनुहोस्।

$$\frac{3}{7}y=\frac{6}{7}$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{3}{7} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$y=2$$

x=\frac{2}{7}y+\frac{24}{7} मा y लाई 2 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=\frac{2}{7}\times 2+\frac{24}{7}$$

\frac{2}{7} लाई 2 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{4+24}{7}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{24}{7} लाई \frac{4}{7} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x=4$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=4,y=2$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$-7x+2y=-24,5x-y=18$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}-7&2\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-24\\18\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}-7&2\\5&-1\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}-7&2\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7&2\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&2\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-24\\18\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&2\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-24\\18\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&2\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-24\\18\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-7\left(-1\right)-2\times 5}&-\frac{2}{-7\left(-1\right)-2\times 5}\\-\frac{5}{-7\left(-1\right)-2\times 5}&-\frac{7}{-7\left(-1\right)-2\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-24\\18\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\\frac{5}{3}&\frac{7}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-24\\18\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\left(-24\right)+\frac{2}{3}\times 18\\\frac{5}{3}\left(-24\right)+\frac{7}{3}\times 18\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=4,y=2$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$-7x+2y=-24,5x-y=18$$

-7x र 5x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 5 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई -7 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$5\left(-7\right)x+5\times 2y=5\left(-24\right),-7\times 5x-7\left(-1\right)y=-7\times 18$$

सरल गर्नुहोस्।

$$-35x+10y=-120,-35x+7y=-126$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर -35x+10y=-120 बाट -35x+7y=-126 घटाउनुहोस्।

$$-35x+35x+10y-7y=-120+126$$

35x मा -35x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै -35x र 35x राशी रद्द हुन्छन्।

$$10y-7y=-120+126$$

-7y मा 10y जोड्नुहोस्

$$3y=-120+126$$

126 मा -120 जोड्नुहोस्

$$3y=6$$

दुबैतिर 3 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=2$$

5x-y=18 मा y लाई 2 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$5x-2=18$$

समीकरणको दुबैतिर 2 जोड्नुहोस्।

$$5x=20$$

दुबैतिर 5 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=4$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=4,y=2$$