समाधान {l}{-6x+5y=1}{6x+4y=-10}

$$\left. \begin{array} { l } { - 6 x + 5 y = 1 } \\ { 6 x + 4 y = - 10 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=-1$$

$$y=-1$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$-6x+5y=1,6x+4y=-10$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$-6x+5y=1$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 5y घटाउनुहोस्।

$$-6x=-5y+1$$

दुबैतिर -6 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{1}{6}\left(-5y+1\right)$$

-\frac{1}{6} लाई -5y+1 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{5}{6}y-\frac{1}{6}$$

\frac{5y-1}{6} लाई x ले अर्को समीकरण 6x+4y=-10 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$6\left(\frac{5}{6}y-\frac{1}{6}\right)+4y=-10$$

6 लाई \frac{5y-1}{6} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$5y-1+4y=-10$$

4y मा 5y जोड्नुहोस्

$$9y-1=-10$$

समीकरणको दुबैतिर 1 जोड्नुहोस्।

$$9y=-9$$

दुबैतिर 9 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=-1$$

x=\frac{5}{6}y-\frac{1}{6} मा y लाई -1 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=\frac{5}{6}\left(-1\right)-\frac{1}{6}$$

\frac{5}{6} लाई -1 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{-5-1}{6}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर -\frac{1}{6} लाई -\frac{5}{6} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x=-1$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=-1,y=-1$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$-6x+5y=1,6x+4y=-10$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}-6&5\\6&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-10\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}-6&5\\6&4\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}-6&5\\6&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6&5\\6&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&5\\6&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-10\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&5\\6&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-10\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&5\\6&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-10\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{-6\times 4-5\times 6}&-\frac{5}{-6\times 4-5\times 6}\\-\frac{6}{-6\times 4-5\times 6}&-\frac{6}{-6\times 4-5\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-10\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{27}&\frac{5}{54}\\\frac{1}{9}&\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-10\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{27}+\frac{5}{54}\left(-10\right)\\\frac{1}{9}+\frac{1}{9}\left(-10\right)\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-1\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=-1,y=-1$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$-6x+5y=1,6x+4y=-10$$

-6x र 6x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 6 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई -6 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$6\left(-6\right)x+6\times 5y=6,-6\times 6x-6\times 4y=-6\left(-10\right)$$

सरल गर्नुहोस्।

$$-36x+30y=6,-36x-24y=60$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर -36x+30y=6 बाट -36x-24y=60 घटाउनुहोस्।

$$-36x+36x+30y+24y=6-60$$

36x मा -36x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै -36x र 36x राशी रद्द हुन्छन्।

$$30y+24y=6-60$$

24y मा 30y जोड्नुहोस्

$$54y=6-60$$

-60 मा 6 जोड्नुहोस्

$$54y=-54$$

दुबैतिर 54 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=-1$$

6x+4y=-10 मा y लाई -1 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$6x+4\left(-1\right)=-10$$

4 लाई -1 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$6x-4=-10$$

समीकरणको दुबैतिर 4 जोड्नुहोस्।

$$6x=-6$$

दुबैतिर 6 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=-1$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=-1,y=-1$$