समाधान {l}{-5y+8x=-18}{5y+2x=58}

$$\left. \begin{array} { l } { - 5 y + 8 x = - 18 } \\ { 5 y + 2 x = 58 } \end{array} \right.$$

y, x को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=4$$

$$y=10$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$-5y+8x=-18,5y+2x=58$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको y लाई अलग गरी y का लागि हल गर्नुहोस्।

$$-5y+8x=-18$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 8x घटाउनुहोस्।

$$-5y=-8x-18$$

दुबैतिर -5 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=-\frac{1}{5}\left(-8x-18\right)$$

-\frac{1}{5} लाई -8x-18 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$y=\frac{8}{5}x+\frac{18}{5}$$

\frac{8x+18}{5} लाई y ले अर्को समीकरण 5y+2x=58 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$5\left(\frac{8}{5}x+\frac{18}{5}\right)+2x=58$$

5 लाई \frac{8x+18}{5} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$8x+18+2x=58$$

2x मा 8x जोड्नुहोस्

$$10x+18=58$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 18 घटाउनुहोस्।

$$10x=40$$

दुबैतिर 10 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=4$$

y=\frac{8}{5}x+\frac{18}{5} मा x लाई 4 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले y लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$y=\frac{8}{5}\times 4+\frac{18}{5}$$

\frac{8}{5} लाई 4 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$y=\frac{32+18}{5}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{18}{5} लाई \frac{32}{5} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$y=10$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$y=10,x=4$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$-5y+8x=-18,5y+2x=58$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}-5&8\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-18\\58\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}-5&8\\5&2\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5&8\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5&8\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&8\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\58\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&8\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\58\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&8\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\58\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{-5\times 2-8\times 5}&-\frac{8}{-5\times 2-8\times 5}\\-\frac{5}{-5\times 2-8\times 5}&-\frac{5}{-5\times 2-8\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\58\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{25}&\frac{4}{25}\\\frac{1}{10}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\58\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{25}\left(-18\right)+\frac{4}{25}\times 58\\\frac{1}{10}\left(-18\right)+\frac{1}{10}\times 58\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\4\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू y र x लाई ता्नुहोस्।

$$y=10,x=4$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$-5y+8x=-18,5y+2x=58$$

-5y र 5y लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 5 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई -5 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$5\left(-5\right)y+5\times 8x=5\left(-18\right),-5\times 5y-5\times 2x=-5\times 58$$

सरल गर्नुहोस्।

$$-25y+40x=-90,-25y-10x=-290$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर -25y+40x=-90 बाट -25y-10x=-290 घटाउनुहोस्।

$$-25y+25y+40x+10x=-90+290$$

25y मा -25y जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै -25y र 25y राशी रद्द हुन्छन्।

$$40x+10x=-90+290$$

10x मा 40x जोड्नुहोस्

$$50x=-90+290$$

290 मा -90 जोड्नुहोस्

$$50x=200$$

दुबैतिर 50 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=4$$

5y+2x=58 मा x लाई 4 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले y लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$5y+2\times 4=58$$

2 लाई 4 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$5y+8=58$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 8 घटाउनुहोस्।

$$5y=50$$

दुबैतिर 5 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=10$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$y=10,x=4$$