समाधान {l}{-5x+13y=-7}{5x+4y=24}

$$\left. \begin{array} { l } { - 5 x + 13 y = - 7 } \\ { 5 x + 4 y = 24 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=4$$

$$y=1$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$-5x+13y=-7,5x+4y=24$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$-5x+13y=-7$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 13y घटाउनुहोस्।

$$-5x=-13y-7$$

दुबैतिर -5 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{1}{5}\left(-13y-7\right)$$

-\frac{1}{5} लाई -13y-7 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{13}{5}y+\frac{7}{5}$$

\frac{13y+7}{5} लाई x ले अर्को समीकरण 5x+4y=24 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$5\left(\frac{13}{5}y+\frac{7}{5}\right)+4y=24$$

5 लाई \frac{13y+7}{5} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$13y+7+4y=24$$

4y मा 13y जोड्नुहोस्

$$17y+7=24$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 7 घटाउनुहोस्।

$$17y=17$$

दुबैतिर 17 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=1$$

x=\frac{13}{5}y+\frac{7}{5} मा y लाई 1 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=\frac{13+7}{5}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{7}{5} लाई \frac{13}{5} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x=4$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=4,y=1$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$-5x+13y=-7,5x+4y=24$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}-5&13\\5&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\24\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}-5&13\\5&4\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5&13\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5&13\\5&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&13\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\24\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&13\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\24\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&13\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\24\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{-5\times 4-13\times 5}&-\frac{13}{-5\times 4-13\times 5}\\-\frac{5}{-5\times 4-13\times 5}&-\frac{5}{-5\times 4-13\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\24\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{85}&\frac{13}{85}\\\frac{1}{17}&\frac{1}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\24\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{85}\left(-7\right)+\frac{13}{85}\times 24\\\frac{1}{17}\left(-7\right)+\frac{1}{17}\times 24\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=4,y=1$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$-5x+13y=-7,5x+4y=24$$

-5x र 5x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 5 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई -5 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$5\left(-5\right)x+5\times 13y=5\left(-7\right),-5\times 5x-5\times 4y=-5\times 24$$

सरल गर्नुहोस्।

$$-25x+65y=-35,-25x-20y=-120$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर -25x+65y=-35 बाट -25x-20y=-120 घटाउनुहोस्।

$$-25x+25x+65y+20y=-35+120$$

25x मा -25x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै -25x र 25x राशी रद्द हुन्छन्।

$$65y+20y=-35+120$$

20y मा 65y जोड्नुहोस्

$$85y=-35+120$$

120 मा -35 जोड्नुहोस्

$$85y=85$$

दुबैतिर 85 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=1$$

5x+4y=24 मा y लाई 1 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$5x+4=24$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 4 घटाउनुहोस्।

$$5x=20$$

दुबैतिर 5 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=4$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=4,y=1$$